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Funzioni di più variabili: derivate, estremi e funzione implicita

Teoria Funzioni di più variabili

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Sommario

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Presentiamo il calcolo differenziale per funzioni di più variabili studiando derivate parziali, direzionali e gradiente, differenziabilità, derivate seconde e matrice hessiana. Applichiamo poi questi strumenti al problema della ricerca dei massimi e minimi per una funzione in più variabili, sia nel caso libero che nel caso vincolato. Si affronta inoltre lo studio delle funzioni implicite, presentando i teoremi del Dini.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Andrea Gentile.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali positivi;
\mathbb{N}_0    Insieme dei numeri naturali incluso lo 0;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
\mathbb{R}^n    Prodotto cartesiano di \mathbb{R} con se stesso n volte;
\mathbb{R}^{m \times n}    Spazio delle matrici m \times n a coefficienti reali;
\det A    determinante della matrice A;
E^c    Complementare dell’insieme E;
\lVert y \rVert    Norma del vettore y;
e_1, \ldots, e_n    vettori della base canonica di \mathbb{R}^n;
\langle x, y \rangle    prodotto scalare tra i vettori x=(x_1,\dots,x_n) e y=(y_1,\dots,y_n) di \mathbb{R}^n, definito da \langle x, y \rangle= \sum_{i=1}^n x_i y_i;
A \times B    Prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B;
f \colon A \to B    funzione da A a B;
\displaystyle f'    derivata della funzione di una variabile f;
\partial_i f    derivata parziale di f rispetto alla variabile x_i;
Df    gradiente di f o matrice jacobiana di f.


 
 

Introduzione

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Un problema notevole nell’ambito della matematica pura e applicata è sicuramente l’ottimizzazione: che si tratti del tragitto più breve da percorrere per raggiungere una meta, della scelta più economica in un processo produttivo o del modo migliore per allocare delle risorse, l’ottimizzazione riveste un ruolo chiave in molti aspetti della scienza e anche della vita quotidiana. Tutti questi problemi sono accomunati dalla presenza di una funzione che si vuole massimizzare o minimizzare (a seconda che essa corrisponda rispettivamente a un profitto o un costo).

Tale problema conduce allo studio del cosiddetto calcolo differenziale, già affrontato nel caso di una variabile in [11] e [15] e che svilupperemo in più dimensioni in questa dispensa.

Una volta introdotto il concetto di derivata in più dimensioni e osservate le analogie e le differenze con il caso unidimensionale, esporremo la teoria relativa allo studio degli estremi di una funzione in termini di “derivata prima” e “seconda”.

A seguire, utilizzando gli strumenti del calcolo in più variabili, ci interesseremo al problema di descrivere il sottoinsieme dei punti del piano tali che F(x,y)=0, dove F è una funzione di due variabili, come grafico del tipo y = f(x) o x=f(y). Una tale funzione f viene detta funzione implicita e la risposta a tale domanda sarà contenuta nel cosiddetto teorema del Dini.

Utilizzeremo poi tale strumento per studiare il problema dell’ottimizzazione vincolata, ossia la ricerca di massimi e minimi di una funzione sull’insieme dei punti x\in \mathbb{R}^n che soddisfano un vincolo del tipo F(x)=0.

L’articolo è organizzato come segue:

\[\quad\]

  • Nella sezione 1 introdurremo i concetti di derivabilità e differenziabilità di una funzione e i relativi risultati.

    •  

  • Nella sezione 2 presentiamo le derivate seconde per funzioni di più variabili.

    •  

  • Nella sezione 3 vedremo come approssimare una funzione attraverso un polinomio grazie allo sviluppo di Taylor.

    •  

  • Nella sezione 4 studiamo il problema di determinare il massimo e il minimo di una funzione di più variabili sull’intero suo dominio.

    •  

  • Nella sezione 5 introdurremo e studieremo il problema precedentemente anticipato della funzione implicita.

    •  

  • Nella sezione 6 affronteremo lo studio dei problemi di ottimizzazione vincolata.

 

Derivabilità e differenziabilità

Introduzione.

Rimandiamo alla dispensa “Funzioni di più variabili – 1” [12] per le nozioni riguardanti la topologia e i limiti di cui faremo uso in questo secondo volume della dispensa.

Derivate parziali.

Consideriamo una funzione f \colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, un punto x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n e immaginiamo di fissare x_2, x_3,\ldots, x_n così da poter definire la funzione (di una variabile)

\[ g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \qquad g(t) = f(t,x_2,\dots, x_n) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]

In buona sostanza, anziché vedere f come funzione di n variabili, stiamo pensando f come funzione di una variabile t e n-1 “parametri” fissati x_2,\dots,x_n.

Poiché g è una funzione reale di variabile reale, ha senso valutarne la derivata (se esiste), ovvero il limite del rapporto incrementale in x_1:

\[ g'(x_1) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x_1+h)-g(x_1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h,x_2,\ldots,x_n)-f(x_1,x_2, \ldots, x_n)}{h}. \]

In forma più compatta, possiamo utilizzare i vettori e_1=(1,0,\dots,0), e_2=(0,1,0,\dots,0), \dots, e_n=(0,\dots,0,1) della base canonica di \mathbb{R}^n per scrivere

\[ g'(x_1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+he_1)-f(x)}{h}, \]

giungendo così alla seguente definizione.

\[\quad\]

Definizione 1 (derivate parziali, gradiente). Sia f \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, sia x =(x_1,\ldots, x_n) \in E un punto interno a E e i \in \{ 1,\ldots, n\}. Si definisce derivata parziale \bm{i}-esima di f in x la quantità (qualora essa esista)

(1) \begin{equation*} \partial_i f(x)\coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}. \end{equation*}

Se \partial_i f(x) è finita, f si dice derivabile parzialmente rispetto alla variabile i-esima in x. Se f è derivabile parzialmente in x rispetto a tutte le variabili, essa si dice derivabile in x e il vettore delle derivate parziali di f in x

\[ D f(x)=\big(\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x) \big) \]

è detto gradiente di f in x. Qualora f sia derivabile in ogni punto di un insieme A \subseteq E, essa si dice derivabile in A.

\[\quad\]

Segnaliamo che, per indicare le derivate parziali di f, vengono anche utilizzate le notazioni

\[ f_{x_i}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_i}, \qquad D_i f, \qquad \partial_{x_i} f, \]

mentre il gradiente è anche denotato col simbolo \nabla f. Segnaliamo inoltre che nei casi n=2 o n=3, poiché le variabili sono spesso indicate con x, y e z, si scriverà talvolta \partial_x f, \partial_y f, \partial_z f al posto di \partial_1 f, \partial_2 f, \partial_3 f.

Siccome la derivata parziale è definita esattamente come la derivata di una funzione di variabile reale, risulta molto semplice comprendere il concetto geometrico dietro la definizione. Infatti fissare n-1 coordinate equivale a considerare la retta parallela al vettore della base canonica relativo alla coordinata lasciata libera e passante per il punto in esame: data la restrizione di f a tale retta, la derivata parziale i-esima di f è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di tale funzione di una sola variabile, come illustrato in figura 1.

\[\quad\]

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Figura 1: retta tangente al grafico della funzione, la cui proiezione sul piano orizzontale è parallela all’asse y.

\[\quad\]

Una conseguenza della definizione è che, nel calcolo effettivo di una derivata parziale rispetto a x_i occorre applicare le regole di derivazione del caso scalare considerando le altre variabili come costanti, come chiarito dal seguente esempio.

Esempio 2. Data f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} la funzione definita come

\[ f(x,y) = e^x \cos(y) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \]

calcoliamone le derivate parziali in (0,0) e il gradiente in un punto generico di \mathbb{R}^2.

Come abbiamo anticipato, per calcolare la derivata parziale in x, supponiamo che la y sia costante e dunque costante sarà anche il fattore \cos y; pertanto la derivata parziale rispetto a x di f coincide con la derivata classica della funzione t \mapsto e^t \cdot c, dove c=\cos y è una costante. In definitiva

\[ \partial_x f(x,y)= e^x \cos y \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \]

in quanto la derivata della funzione c e^t coincide con la funzione stessa. Dunque \partial_x f(0,0)=e^0 \cdot \cos 0=1. Per calcolare la derivata parziale di f rispetto a y, supponiamo invece che x sia una costante e dunque occorre derivare la funzione t \mapsto c \cos t, dove appunto c=e^x. Poiché la derivata del coseno è l’opposto del seno, si ha

\[ \partial_y f(x,y)= -e^x \sin y \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \]

e dunque \partial_y f(0,0)=- e^0 \cdot \sin 0=0. Dalle espressioni generali delle derivate parziali ottenute, si ha quindi

\[ D f(x,y) = \Big( e^x \cos y, -e^x \sin y\Big) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \]

Esempio 3. Verifichiamo che la funzione f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} definita da

\[ f(x,y) = \arctan (x \cos y) \qquad \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2 \]

è derivabile in \mathbb{R}^2 e calcoliamone il gradiente. Per calcolare la derivata parziale rispetto a x, consideriamo la y costante e dunque occorre calcolare la derivata della funzione g \colon t \mapsto \arctan(t \cdot c), dove c=\cos y è appunto costante. Dai teoremi per la derivazione di funzioni in una variabile si ha quindi

\[ \partial_x f(x,y)= g'(x)= \frac{c}{1+c^2x^2} = \frac{\cos y}{1+x^2\cos^2 y } \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \]

D’altra parte, la derivata rispetto a y della funzione si ottiene considerando la x come una costante, ossia derivando la funzione di una variabile h\colon t \mapsto \arctan (c\cos t), che fornisce

\[ \partial_y f(x,y)= h'(y) = -\frac{c\sin y}{1+c^2\cos^2 y} = -\frac{x \sin y}{1+x^2\cos^2 y} \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \]

Ne consegue che il gradiente di f vale

\[ Df(x,y) = \big(\partial_x f(x,y), \partial_y f(x,y) \big) = \left (\frac{\cos y}{1+x^2\cos^2 y },-\frac{x \sin y}{1+x^2\cos^2 y} \right ) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \]

Sottolineiamo come, poggiandosi interamente sulla definizione di derivata classica, la derivata parziale eredita tutte le proprietà della derivata di una variabile. In particolare continuano a valere tutte le formule per le derivate di somma, prodotto, rapporto e funzione composta e le derivate delle funzioni elementari, come riassunto nella seguente proposizione.

\[\quad\]

Proposizione 4 Siano f,g \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} due funzioni derivabili parzialmente rispetto a x_i in un punto x =(x_1,\ldots, x_n) \in E e siano \alpha,\beta \in \mathbb{R}. Allora:

\[\quad\]

  1. ciascuna combinazione lineare di f e g è derivabile in x e si ha

    (2) \begin{equation*} \partial_i(\alpha f + \beta g) (x) = \alpha \partial_i f (x) + \beta \partial_i g (x); \end{equation*}

    2.  

  2. il prodotto fg è derivabile in x e vale la regola di Leibniz

    (3) \begin{equation*} \partial_i(fg) (x) = \partial_i f (x) g(x) + f(x) \partial_i g (x); \end{equation*}

    3.  

  3. se f(x) \neq 0, allora la funzione \frac{1}{f} è derivabile in x e si ha

    (4) \begin{equation*} \partial_i\biggl( \frac{1}{f} \biggr)(x) = - \frac{\partial_i f(x)}{f(x)^2}; \end{equation*}

    4.  

  4. se h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è una funzione derivabile in f(x), allora la funzione composta h \circ f \colon E \to \mathbb{R} è derivabile parzialmente rispetto alla i-esima variabile in x e si ha

    (5) \begin{equation*} \partial_i(h \circ f) (x) = h'\bigl( f(x) \bigr) \partial_i f (x). \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Definendo le funzioni di una variabile \tilde{f}(t)=f(x_1,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_n) e \tilde{g}(t)=g(x_1,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_n), le derivate parziali di f,g e delle relative combinazioni corrispondono alle derivate classiche di \tilde{f}, \tilde{g} e relative combinazioni, alle quali è possibile applicare tutte le classiche regole di derivazione.


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