Differenziabilità per funzioni in più variabili

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

La nozione di differenziabilità costituisce la “corretta” estensione dell’idea di funzione derivabile a funzioni di più variabili. Infatti, mentre per funzioni di una variabile la derivabilità in un punto implica la continuità, è abbastanza agevole scrivere esempi di funzioni aventi tutte le derivate parziali e direzionali finite, ma che non sia continua. La ragione profonda di tale incongruenza è da ricercare nel fatto che le sole rette passanti per un punto non esauriscono i possibili modi di avvicinarvisi. Occorre quindi determinare una nozione di differenziabilità più “globale” che consenta di esprimere la variazione della funzione nell’intorno di un punto senza affidarsi a restrizioni di a rette o altre curve.

Un tale concetto esiste e viene appunto detto differenziabilità per funzioni in più variabili. In questo articolo ne presentiamo la definizione formale, le proprietà principali, e ne evidenziamo i legami con la continuità, la derivabilità e la continuità delle derivate parziali.