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Derivate seconde e matrice hessiana per funzioni di più variabili

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Le derivate seconde di una funzione di n variabili sono le derivate parziali di ciascuna delle n derivate parziali prime della funzione; esse vengono collezionate nella cosiddetta matrice hessiana, ovvero la matrice n\times n la cui componente ij è la derivata parziale rispetto alla variabile x_j della derivata parziale rispetto alla variabile i.

In questo articolo definiamo formalmente questi concetti, li illustriamo con esempi svolti e ne studiamo le proprietà: in particolare presenteremo il teorema di Schwarz, secondo cui, sotto ipotesi di continuità delle derivate seconde, l’ordine di derivazione è ininfluente.


 
 

Derivate seconde e matrice hessiana

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iccome ognuna delle derivate parziali di una funzione di più variabili, è naturale considerare le ulteriori sue derivate parziali.

\[\quad\]

Definizione 1. Sia data una funzione f \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} derivabile parzialmente rispetto a x_i nell’insieme aperto E. Se la derivata parziale \partial_i f è derivabile parzialmente rispetto a j in x \in E, la derivata parziale \partial_j (\partial_i f) si dice derivata seconda di f rispetto a x_i,x_j in x e si indica col simbolo \partial_{ij} f(x).

Le derivate seconde rispetto a variabili uguali si dicono pure, mentre quelle rispetto a variabili diverse si dicono miste.

Se f è derivabile parzialmente due volte rispetto a tutte le direzioni, la matrice n\times n la cui componente ij è la derivata \partial_{ij}f si dice matrice hessiana, ossia

(1) \begin{equation*} D^2 f (x) = \begin{pmatrix} \partial_{11}f(x) & \partial_{12}f(x) & \cdots &\partial_{1n}f(x) \\[1.2ex] \partial_{21}f(x) &\partial_{22}f(x) & \cdots &\partial_{2n}f(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_{n1}f(x) &\partial_{n2}f(x) & \cdots &\partial_{nn}f(x) \\ \end{pmatrix} . \end{equation*}

\[\quad\]

Sottolineiamo che con la notazione \partial_{ij}f intendiamo \partial_j(\partial_i f), ossia la derivata parziale j-esima della funzione \partial_i f; ciò si traduce, nella pratica, nel dover derivare f prima rispetto alla variabile x_i e poi derivare ulteriormente, rispetto a x_j, la funzione ottenuta.

Notiamo che la i-esima riga della matrice hessiana è costituita dal gradiente di \partial_i f. Osserviamo che, in letteratura, è possibile reperire altre notazioni per le derivate seconde e per la matrice hessiana:

\[ f_{x_ix_j}, \,\,\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \qquad \nabla^2 f, \,\, Hf. \]

La traccia della matrice hessiana riveste un ruolo particolarmente rilevante in molti contesti (matematica, fisica, ingegneria) ed è nota come Laplaciano di f,

(2) \begin{equation*} \Delta f = \mathrm{tr} (D^2 f) = \sum_{i = 1 }^n \partial_{ii}f. \end{equation*}


 
 

Esempi di calcolo delle derivate seconde

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