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Derivate direzionali: teoria

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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La nozione di derivata direzionale generalizza quella di derivata parziale per funzioni di più variabili. Infatti, mentre per calcolare una derivata parziale di una funzione f in x_0 si restringe f a una retta passante per x_0 e parallela a uno degli assi, è naturale provare ad estendere questo concetto considerando delle rette non necessariamente parallele agli assi coordinati. Ciò conduce alle derivate direzionali.

In questo articolo ne diamo la definizione formale e illustriamo questa idea mediante alcuni esempi pratici.


 
 

Derivate direzionali

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La derivata parziale i-esima di una funzione in un punto x corrisponde alla derivata della funzione di una variabile ottenuta valutando la funzione su una retta parallela all’i-esimo asse coordinato. Poiché per un punto passano infinite rette, risulta naturale estendere la nozione di derivabilità di una funzione in più variabili relativamente a qualsiasi retta passante per il punto considerato.

Precisamente, data una funzione f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, un punto x=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n e un vettore v=(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n, possiamo definire la funzione

(1) \begin{equation*} g_v \colon t \in \mathbb{R} \longmapsto f(x+t v) = f\bigl( x_1+t v_1, x_2+t v_2+\ldots + x_n+t v_n \bigr) \qquad \forall t \in \mathbb{R}, \end{equation*}

ossia la restrizione della funzione f alla retta passante per x e parallela al vettore v. Poiché g_v è una funzione della sola variabile t, è possibile considerare la sua derivata, che intuitivamente ci fornirà il “tasso di crescita” di f in x, rispetto alla direzione v:

\[ g_v'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+t v) - f(x)}{t}. \]

Ciò giustifica la seguente definizione.

\[\quad\]

Definizione 1 (derivata direzionale). Siano f \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} una funzione, un punto x interno a E e un vettore v \in \mathbb{R}^n. Si dice derivata direzionale di f in x nella direzione v il limite

(2) \begin{equation*} \partial_v f(x)\coloneqq \lim_{t \to 0} \cfrac{f(x+tv) - f(x)}{t}, \end{equation*}

qualora esso esista. Se la derivata \partial_v f(x) è finita, f si dice derivabile in x_0 nella direzione v.

\[\quad\]

Oltre alla notazione da noi presentata, la derivata direzionale può essere anche indicata da

\[ D_{v} f (x), \qquad \frac{\partial f}{\partial v} (x). \]

La nozione di derivata direzionale generalizza quella di derivata parziale: è evidente dalla definizione che la derivata direzionale nel caso in cui v sia uno dei vettori della base canonica \{ e_1, \ldots, e_n \} è proprio una derivata parziale.

Osservazione 2. La derivata direzionale di f in x è 1-omogenea rispetto al vettore v: ciò vuol dire che, da \partial_v f(x), si può ricavare \partial_{\lambda v}f(x) per ogni \lambda \in \mathbb{R} e più precisamente vale

\[ \partial_{\lambda v} f(x) = \lambda \partial_v f(x) \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R}. \]

Ciò segue dalla definizione di derivata direzionale mediante un cambio di variabili:

\[ \partial_{\lambda v} f(x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+t\lambda v) - f(x)}{t} \overset{(s=\lambda t)}{=} \lim_{s \to 0} \frac{f(x+s v) - f(x)}{\frac{s}{\lambda}} = \lambda \partial_v f(x). \]


 
 

Esempi di calcolo di derivate direzionali

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