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Continuità per funzioni di più variabili

Teoria Funzioni di più variabili

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Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Il concetto di continuità è forse uno dei più importanti della matematica ed è quindi necessario estenderlo anche a funzioni di più variabili.

In questo articolo, formalizziamo la nozione di continuità per funzioni di più variabili, fornendone anche delle utili caratterizzazioni: una puntuale e una di carattere globale, che si basa sulle controimmagini di insiemi aperti e chiusi, gettando così un importante ponte tra l’Analisi e la Topologia.


 
 

Continuità in più variabili

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Grazie alla nozione di limite, possiamo dare la definizione di funzione continua in un punto.

L’idea di fondo è che una funzione è continua in un punto x_0 se i valori di f(x) sono vicini a f(x_0) quando x è vicino a x_0. Per dare la definizione formale di continuità, distinguiamo il caso in cui x_0 sia un punto isolato del dominio della funzione (in cui non vi è alcun x vicino a x_0 diverso da esso), dal caso in cui x_0 sia un punto di accumulazione, in cui invece la continuità viene espressa mediante la nozione di limite.

Definizione 1. Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, sia f \colon E \to \mathbb{R}^m una funzione e sia x_0 \in E. Si dice che f è continua in x_0 se x_0 è un punto isolato per E oppure se

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

Si dice inoltre che f è continua in {E} se f è continua in ogni punto di E.

\[\quad\]

Cominciamo studiando alcune proprietà e caratterizzazioni delle funzioni continue.

\[\quad\]

Proposizione 2 (caratterizzazione della continuità in un punto). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, sia x_0 \in E e sia f : E \to \mathbb{R}^m una funzione. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\[\quad\]

  1. f è continua in x_0;

    2.  

  2. per ogni \varepsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che

    (1) \begin{equation*} \| f(x) - f(x_0) \| < \varepsilon \qquad \forall x \in B_{\delta}(x_0) \cap E; \end{equation*}

    3.  

  3. per ogni \varepsilon>0 esiste \delta > 0 tale che

    (2) \begin{equation*} f^{-1} \Bigl( B_{\varepsilon}\bigl( f(x_0) \bigr) \Bigr) \supseteq B_{\delta}(x_0) \cap E. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione.

  • 1 ⇒ 2. Se x_0 è un punto isolato, allora qualsiasi \delta>0 tale che B_\delta(x_0) \cap E = \{x_0\} soddifa la condizione 2. Se invece x_0 è di accumulazione, per ogni \varepsilon>0 la definizione di limite implica che esiste \delta>0 tale che

    \[ \| f(x) - f(x_0) \| < \varepsilon \qquad \forall x \in B_{\delta}(x_0) \cap E \setminus\{x_0\}; \]

    poiché \|f(x_0)-f(x_0)\|=0, la disuguaglianza di sopra è vera anche non escludendo x_0. Si conclude cioè che vale il punto 2 della proposizione.

    • nbsp;

  • 2 ⇒ 3. Per \varepsilon>0, si fissi \delta>0 tale che valga (1). Essa implica che f(x) \in B_\varepsilon(f(x_0)) per ogni x \in B_\delta(x_0) \cap E; per definizione di controimmagine, questo equivale a (2).

    •  

  • 3 ⇒ 1. O esiste \delta>0 per cui B_\delta(x_0) \cap E=\{x_0\}, oppure per ogni \delta>0 tale intersezione contiene altri punti; nel primo caso x_0 è un punto isolato di E e ciò implicherebbe il punto 1, nel secondo invece x_0 è di accumulazione per E. In quest’ultima situazione, si fissi \varepsilon>0 e si consideri \delta>0 soddisfacente la relazione (2). Per definizione di controimmagine, da essa segue

    \[ f(x) \in B_\varepsilon(f(x_0)) \qquad \forall x \in B_\delta(x_0) \cap E \]

    che implica \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) per definizione di limite.


 

Caratterizzazione della continuità mediante controimmagini

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