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Integrali di linea di seconda specie: esercizi svolti con la definizione

Integrali di linea di seconda specie

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Sommario

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La presente dispensa raccoglie 10 esercizi sugli integrali di linea, con difficoltà media, pensati per supportare lo studio e l’approfondimento di questo argomento fondamentale dell’analisi matematica. Gli esercizi coprono diverse tipologie di problemi, includendo integrali di linea di funzioni scalari e vettoriali e curve parametrizzate. Ogni esercizio è accompagnato da una traccia chiara e da una soluzione dettagliata, volta a guidare lo studente nel ragionamento matematico e nello sviluppo delle tecniche di calcolo. La dispensa è rivolta a studenti universitari dei corsi di laurea scientifici o ingegneristici.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    insieme dei numeri relativi;
\mathbb{Q}    insieme dei numeri razionali;
\mathbb{R}    insieme dei numeri reali;
\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}    insieme esteso dei numeri reali;
\int_\gamma \overline{F}\cdot d \overline{\ell}    integrale di linea di seconda specie;
\oint_{\gamma} \overline{F}(\overline{\gamma})(t) \cdot \overline{\gamma}^\prime(t) \, dt    circuitazione di un campo vettoriale.


 
 

Introduzione

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Questa raccolta di esercizi nasce come strumento di supporto per lo studio degli integrali di linea di seconda specie, con particolare attenzione agli aspetti pratici legati alla loro applicazione e interpretazione. L’obiettivo principale è fornire un insieme di problemi selezionati, pensati per aiutare lo studente a mettere in pratica le nozioni teoriche acquisite.

La dispensa è pensata per lettori che abbiano già una conoscenza di base degli argomenti trattati. In particolare, si consiglia di consultare preventivamente la guida teorica Pillole teoriche integrali di linea. Tale risorsa riassume in modo essenziale ma rigoroso i concetti teorici fondamentali necessari alla comprensione degli esercizi proposti.

Data la natura operativa della presente raccolta, non verranno sviluppate dimostrazioni formali, né introdotti \textit{ex novo} i concetti teorici. Alcuni risultati verranno richiamati solo se strettamente necessari alla risoluzione dei problemi.

Gli esercizi sono strutturati per favorire un approccio guidato alla risoluzione. Questa impostazione risulta particolarmente utile per studenti di corsi scientifici o ingegneristici, ma anche per chiunque desideri consolidare le proprie competenze pratiche sul tema.

Nella dispensa verrà utilizzato il linguaggio dei campi vettoriali e non quello delle forme differenziali.


 
 

Richiami di teoria

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Di seguito richiamiamo i principali risultati teorici utili nella dispensa.

Definizione 1.1. Dato un campo vettoriale

\[\overline{F}:A \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\]

con \overline{F}(x,y,z)=\left(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\right) e una curva regolare o regolare a tratti \gamma definita in A con parametrizzazione

\[\overline{\gamma}:[a,b]\rightarrow A\subseteq \mathbb{R}^3\]

tale che \overline{\gamma}(t)=\left(x(t),y(t),z(t)\right), si definisce l’integrale di linea di seconda specie di \overline{F} su \gamma come segue:

(1) \begin{equation*} \int_\gamma \overline{F}\cdot d \overline{\ell}=\int_{a}^{b}\overline{F}\left(\overline{\gamma}(t) \right)\cdot \overline{\gamma} ^\prime (t)\, dt. \end{equation*}

\[\quad\]

Nella maggior parte degli esercizi proposti in questa dispensa verrà applicata direttamente la definizione, utilizzando la parametrizzazione della curva data. Tuttavia, in alcuni casi in cui applicare la definizione risulta complicato, si utilizzano altri metodi. Uno di questi è il seguente:

Teorema 1.2. Siano \overline{F} un campo vettoriale conservativo nel suo insieme di definizione \Omega e \gamma una curva regolare a tratti, orientata e contenuta in \Omega, parametrizzata da \overline{r}(t) con t \in \left[a,b \right]. Allora l’integrale di linea di seconda specie di \omega è dato da

\[\int_{\gamma}\overline{F}\cdot d \overline{s}=U(\overline{r}(b))-U(\overline{r}(a))\]

dove U è il potenziale di \overline{F}.

\[\quad\]

Ricordiamo che la definizione di “campo vettoriale conservativo” coincide con la definizione di forma esatta nel linguaggio delle forme differenziali.


 
 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, applicando la definizione di integrale di linea di seconda specie,

\begin{equation*}\label{1.testo} I=\int_{\gamma} \overline{F} \cdot d\overline{\ell}, \end{equation*}

dove

\[\overline{F} = (y^4+e^{xy}y)\hat{x} + (4y^3x+xe^{xy})\hat{y}\]

e il sostegno di \gamma è la spezzata di vertici (0,0), (1,0), (1,-1) e (2,-2) percorsa nell’ordine descritto.

Svolgimento.

Proponiamo due soluzioni per questo esercizio.

Svolgimento 1.

Rappresentiamo graficamente il sostegno di \gamma in figura 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: Sostegno della curva \gamma di vertici (0,0), (1,0), (1,-1) e(2,-2).

\[\quad\]

Osserviamo che \gamma può essere riscritta come

\[\gamma=\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3,\]

dove il sostegno di \gamma_1 è il segmento che congiunge i punti (0,0) e (1,0), il sostengo di \gamma_2 è il segmento che congiunge i punti (1,0) e (1,-1) e il sostegno di \gamma_3 è il segmento che congiunge i punti (1,-1) e (2,-2).

Sia \overline{\gamma}_1(t) la parametrizzazione di \gamma_1, \overline{\gamma}_2(t) la parametrizzazione di \gamma_2 e \overline{\gamma}_3(t) la parametrizzazione di \gamma_3. La rappresentazione analitica è quella che segue:

(2) \begin{equation*} \begin{split} & \overline{\gamma}_1(t) = (t,0), \qquad &&\text{con } t \in [0,1]\\ & \overline{\gamma}_2(t) = (1,-t), \qquad &&\text{con } t \in [0,1]\\ & \overline{\gamma}_3(t) = (t,-t), \qquad &&\text{con } t \in [1,2] \end{split} \end{equation*}

Restringiamo \vec{F} lungo le tre parametrizzazioni \overline{\gamma}_1(t),\overline{\gamma}_2(t)\,\, \text{e}\,\, \overline{\gamma}_3(t) e successivamente facciamo il prodotto scalare con la derivata delle tre parametrizzazioni:

(3) \begin{equation*} \begin{split} & \overline{F}(\overline{\gamma}_1(t)) \cdot {\overline{\gamma}_1}^\prime(t) = \overline{F}(\overline{\gamma}_1(t)) \cdot (1,0) =(0,t)\cdot (1,0)= 0\\ & \overline{F}(\overline{\gamma}_2(t)) \cdot {\overline{\gamma}_2}^\prime(t) = \overline{F}(\overline{\gamma}_2(t)) \cdot (0,-1) =(t^4-te^{-t},-4t^3+e^{-t})\cdot(0,-1)= 4t^3-e^{-t}\\ & \overline{F}(\overline{\gamma}_3(t)) \cdot {\overline{\gamma}_3}^\prime(t) = \overline{F}(\overline{\gamma}_3(t)) \cdot (1,-1) =(t^4-te^{-t^2},-4t^4+te^{-t^2})\cdot (1,-1)= 5t^4-2te^{-t^2}\\ \end{split} \end{equation*}

Possiamo ora calcolare I applicando la definizione di integrale di linea di seconda specie:

(4) \begin{equation*} \begin{split} I & =\int_0^1 \overline{F}(\overline{\gamma}_1) \cdot {\overline{\gamma}_1}^\prime(t) \, dt + \int_0^1 \overline{F}(\overline{\gamma}_2) \cdot {\overline{\gamma}_2}^\prime(t) \, dt + \int_1^2 \overline{F}(\overline{\gamma}_3) \cdot {\overline{\gamma}_3}^\prime(t) \, dt = \\ & = \int_0^1 \left( 4t^3-e^{-t}\right) \, dt+ \int_1^2 \left( 5t^4-2te^{-t^2}\right)\, dt =\\ &=\left(t^4+e^{-t} \right)\bigg \vert^1_0+\left(t^5+e^{-t^2}\right)\bigg \vert^2_1 =\\ &=1+e^{-1}-1+32+e^{-4}-1-e^{-1}=\\ &=31+e^{-4}. \end{split} \end{equation*}

Concludiamo che

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle I=31+e^{-4}. }\]


Svolgimento 2.

Il dominio di \overline{F} è \mathbb{R}^2 che è semplicemente connesso.

Scriviamo

(5) \begin{equation*} \overline{F_1} = F_1 \hat{x} + F_2 \hat{y} \end{equation*}

e calcoliamo le derivate miste

(6) \begin{equation*} \begin{split} & \dfrac{\partial F_1}{\partial y} = 4y^3+e^{xy}+xy \, e^{xy}\\\\ & \dfrac{\partial F_2}{\partial x} = 4y^3+e^{xy}+xy \, e^{xy} \end{split} \end{equation*}

da cui

(7) \begin{equation*} \dfrac{\partial F_1}{\partial y} - \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=0. \end{equation*}

Osserviamo che \overline{F} è irrotazionale, quindi ne concludiamo che \overline{F} è conservativo in \mathbb{R}^2. Calcoliamo ora un potenziale U(x,y)

(8) \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} = y^4+y \, e^{xy} \\\\ \dfrac{\partial U}{\partial y} = 4xy^3+x\, e^{xy} \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione in (8) otteniamo

(9) \begin{equation*} U(x,y)=y^4x+e^{xy} + c(y) \end{equation*}

e sostituendo quanto ottenuto nella seconda equazione in (8) arriviamo a

(10) \begin{equation*} \dfrac{\partial U}{\partial y}=4y^3x+xe^{xy}+c^\prime(y)=4y^3x+xe^{xy} \quad \iff \quad c(y)=c \end{equation*}

con c costante.

Il potenziale è quindi dato da

(11) \begin{equation*} U(x,y)= y^4x+e^{xy}+c \end{equation*}

e dunque

(12) \begin{equation*} \int_\gamma \overline{F} \cdot d\bar{\ell} = U(2,-2)-U(0,0)=31+e^{-4} . \end{equation*}

Pertanto concludiamo che

\[\boxcolorato{analisi}{I=31+e^{-4}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando la definzione di integrale di linea di seconda specie, calcolare

\begin{equation*}\label{2.testo} I=\int_{\gamma} \overline{F} \cdot d\overline{\ell}, \end{equation*}

dove

\[\overline{F} = (xy^2,x^2y)\]

e il sostegno di \gamma è la spezzata chiusa di vertici (0,1), (3,1) e (3,4) percorsa in senso antiorario.

Svolgimento.

Rappresentiamo graficamente il sostegno di \gamma in figura 2.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: Sostegno di \gamma di vertici (0,1), (3,1) e (3,4).

\[\quad\]

Osserviamo che \gamma può essere riscritta come

\[\gamma=\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3,\]

dove il sostegno di \gamma_1 è il segmento che congiunge i punti (0,1) e (3,1), il sostegno di \gamma_2 è il segmento che congiunge i punti (3,1) e (3,4) e infine il sostegno di \gamma_3 è il segmento che congiunge i punti (3,4) e (0,1). Sia \overline{\gamma}_1(t) la parametrizzazione di \gamma_1, \overline{\gamma}_2(t) la parametrizzazione di \gamma_2 e \overline{\gamma}_3(t) la parametrizzazione di \gamma_3.

La rappresentazione analitica è quella che segue:

(13) \begin{equation*} \begin{split} & \overline{\gamma}_1(t) = (t,1), \qquad &&\mbox{con } \, t \in [0,3],\\ & \overline{\gamma}_2(t) = (3,t), \qquad &&\mbox{con } \, t \in [1,4],\\ & \overline{\gamma}_3(t) = (-t,-t+1), \qquad &&\mbox{con } \, t \in [-3,0]. \end{split} \end{equation*}

Restringiamo \vec{F} lungo le tre parametrizzazioni \overline{\gamma}_1(t),\overline{\gamma}_2(t)\,\, \text{e}\,\, \overline{\gamma}_3(t) e successivamente facciamo il prodotto scalare con la derivata delle tre parametrizzazioni:

(14) \begin{equation*} \begin{split} & \overline{F}(\overline{\gamma}_1(t)) \cdot {\overline{\gamma}_1}^\prime(t) =(t,t^2)\cdot (1,0)= t,\\ & \overline{F}(\overline{\gamma}_2(t)) \cdot {\overline{\gamma}_2}^\prime(t) =(3t^2,9t)\cdot(0,1)= 9t,\\ & \overline{F}(\overline{\gamma}_3(t)) \cdot {\overline{\gamma}_3}^\prime(t) =\left(-t(-t+1),t^2(1-t)\right)\cdot (-1,-1)=-\left(-t^3-t+2t^2+t^2-t^3 \right) = 2t^3-3t^2+t. \end{split} \end{equation*}

Possiamo ora calcolare I applicando la definizione di integrale di linea di seconda specie:

(15) \begin{equation*} \begin{split} I & =\int_0^3 \overline{F}(\overline{\gamma}_1) \cdot {\overline{\gamma}_1}^\prime(t) \, dt + \int_1^4 \overline{F}(\overline{\gamma}_2) \cdot {\overline{\gamma}_2}^\prime(t) \, dt + \int_{-3}^0 \overline{F}(\overline{\gamma}_3) \cdot {\overline{\gamma}_3}^\prime(t) \, dt =\\ & = \int_0^3 t \, dt + \int_1^4 9t \, dt + \int_{-3}^0 \left( 2t^3-3t^2+t \right) \, dt =\\ & = \dfrac{t^2}{2} \bigg\vert_0^3 + \dfrac{9t^2}{2} \bigg\vert_1^4 +\left( \dfrac{t^4}{2}-t^3+\dfrac{t^2}{2}\right) \bigg\vert_{-3}^0 =\\ &=\dfrac{9}{2}\cdot 16 -\dfrac{81}{2} -27 -\dfrac{9}{2}=\\ &= 0. \end{split} \end{equation*}

Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle I= 0.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, applicando la definizione di integrale di linea di seconda specie,

\begin{equation*}\label{3.testo} I=\int_{\gamma} \overline{F} \cdot d\overline{\ell}, \end{equation*}

dove

\[\overline{F} = \left(-\dfrac{y}{x^2+y^2} , \dfrac{x}{x^2+y^2} \right)\]

e il sostegno di \gamma è l’arco della circonferenza di equazione x^2+y^2=4 dal punto A(2,0) al punto B(\sqrt{3},1).

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