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Campi conservativi: esercizi svolti

Integrali di linea di seconda specie

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Campi conservativi – Esercizi

 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi sui campi conservativi: verifica e ricerca di un potenziale.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Elisa Bucci.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[\overline{F} = \left(y^4+y e^{xy}, 4xy^3+xe^{xy}\right) =\left(F_1,F_2\right).\]

Verificare che \overline{F} è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se \bar{F} è irrotazionale:

\[\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=4y^3+e^{xy}+xye^{xy}-4y^3-e^{xy}-xye^{xy}=0,\]

dunque \overline{F} è irrotazionale.

Inoltre osserviamo che il dominio di \overline{F} è \mathbb{R}^2 che è un semplicemente connesso, dunque \overline{F} è conservativo in \mathbb{R}^2. Calcoliamo un potenziale U ricorrendo alla definizione

\[\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x} ,\dfrac{\partial U}{\partial y} \right),\]

da cui

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} = y^4 + y \, e^{xy}\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = 4xy^3 + x \, e^{xy}. \end{cases} \end{equation*}

Da (1)_1 abbiamo

\[U(x,y)=y^4x+e^{xy}+c(y),\]

mentre da (1)_2 otteniamo

\[\dfrac{\partial U}{\partial y}=4xy^3 + x \, e^{xy}+c'(y)=4xy^3 + x \, e^{xy},\]

da cui si ricava che

\[\mbox{c}^\prime(y)=0 \iff c(y)=\mbox{cost}.\]

Allora il potenziale è

\[\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=y^4x+e^{xy}+\mbox{cost}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[\overline{F}=\left(2x+5y^3, 15xy^2+2y\right) =\left(F_1,F_2\right).\]

Verificare che \overline{F} è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se \overline{F} è irrotazionale procedendo come segue:

\[\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y}= (15y^2-15y^2)=0.\]

Concludiamo quindi che \overline{F} è irrotazionale. Osserviamo che il dominio di \bar{F} è \mathbb{R}^2 che è un insieme semplicemente connesso, quindi \bar{F} è conservativo.

Calcoliamo il potenziale di \bar{F} ricorrendo alla definizione:

\[\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x},\dfrac{\partial U}{\partial y}\right),\]

da cui

(2) \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} =2x+5y^3\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = 15xy^2+2y. \end{cases} \end{equation*}

Dalla (2)_1 abbiamo

\[U(x,y)=x^2+5xy^3+c(y)\]

e, sostituendo U(x,y) in (2)_2, otteniamo

\[15xy^2+c^\prime(y)= 15xy^2+2y \iff c^\prime(y)=2y \iff c(y)=y^2+\text{cost}.\]

Allora il potenziale è dato da

\[\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=x^2+5xy^3+y^2+\mbox{cost}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[\overline{F}=\left(\sin x, \cos y \right)=\left(F_1,F_2\right).\]

Verificare che \overline{F} è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

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