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Flusso di un campo vettoriale: esercizi con definizione

Flusso di un campo vettoriale

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Sommario

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L’elaborato raccoglie esercizi finalizzati a comprendere e applicare le nozioni di flusso di un campo vettoriale attraverso superfici orientate e di calcolo del rotore.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Chiara Bellotti, Chiara Gambicchia.


 
 

Notazioni

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\operatorname{rot}\vec{F}    Rotore del campo vettoriale \vec F;
\hat{x},\hat{y},\hat{z}    Versori degli assi;
v\cdot w    Prodotto scalare;
v\wedge w    Prodotto vettoriale;
\hat{n}    Versore normale;
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}    Determinante della matrice \left(\begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right).


 
 

Introduzione

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Le soluzioni degli esercizi proposti si basano esclusivamente sull’uso delle definizioni fondamentali, senza fare ricorso ai teoremi di Stokes o della divergenza, con l’obiettivo di sviluppare una comprensione diretta e operativa dei concetti attraverso il calcolo esplicito. Non sono ordinati per difficoltà ma sono suddivisi in base alla superficie fornita dal testo, in questo ordine:

\[\quad\]

  • superfici “piatte”;

    •  

  • superfici cilindriche;

    •  

  • paraboloidi;

    •  

  • altri tipi di superfici.

 
 

Richiami di teoria

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Richiamiamo alcune nozioni di teoria che saranno utili durante lo svolgimento degli esercizi.

Definizione 1.1. Sia \vec F(x,y,z) un campo vettoriale C^1 da un aperto \Omega di \mathbb{R}^3 a valori in \mathbb{R}^3. In coordinate cartesiane, detti \hat{x},\hat{y} e \hat{z} i versori degli assi, il rotore di un campo vettoriale \vec{F}(x,y,z) = (F_x , F_y,F_z) è il campo vettoriale \text{rot} \bar{F} definito da:

\[\text{rot} \vec{F}(x,y,z) = \hat{x} \left({\dfrac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)+\hat{y} \left({\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)+\hat{z} \left({\dfrac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right),\]

per ogni (x,y,z)\in \Omega

\[\quad\]

Spesso il rotore di un campo vettoriale viene indicato con la seguente notazione formale, utile per ricordarne la definizione:

\[ \text{rot} \vec{F}(x,y,z) = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y &F_z \end{vmatrix} . \]

Definizione 1.2. Un sottoinsieme S\subset\mathbb{R}^3 si dice superficie regolare se per ogni p\in S esistono un aperto U\subset\mathbb{R}^2 e una mappa di classe C^1

\[ \gamma:U\longrightarrow \mathbb{R}^3 \]

tali che:

\[\quad\]

  1. \gamma è un’immersione, ovvero \frac{\partial\gamma}{\partial u} e \frac{\partial\gamma}{\partial v} sono linearmente indipendenti;

    2.  

  2. \gamma è un omeomorfismo tra U e \gamma(U), dove \gamma(U) è un intorno di p in S con la topologia di sottospazio.

In tal caso \gamma si dice parametrizzazione regolare di S attorno a p.

\[\quad\]

Prima della prossima definizione, ricordiamo che una superficie \Sigma si dice orientabile se esiste una scelta continua \hat{n}(x,y,z) di versori normali lungo \Sigma, che viene detta orientazione. Intuitivamente, un’orientazione esiste se possiamo distinguere le due “facce” della superficie, per esempio una faccia interna ed una esterna, o una faccia superiore ed una inferiore.

Definizione 1.3. Sia \Sigma\subset\mathbb{R}^3 una superficie regolare orientabile, con orientazione \hat n. Sia \vec F un campo vettoriale di classe C^1 in un intorno aperto di \Sigma. Per ogni parametrizzazione regolare compatibile con l’orientazione

\[ \vec \gamma:\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^2 \to \Sigma,\qquad \frac{\partial\vec \gamma}{\partial\theta}(\theta,\rho)\wedge\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\rho}(\theta,\rho)\neq 0, \]

il flusso di \vec F attraverso \Sigma nel verso di \hat n si definisce come

\[ \iint_\Sigma \vec F\cdot \hat n \, d\sigma \;:=\; \iint_{\mathcal{S}} \vec F\!\big(\vec \gamma(\theta,\rho)\big)\cdot \left(\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\theta}(\theta,\rho)\wedge\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\rho}(\theta,\rho)\right)\, d\theta\,d\rho. \]

Qui d\sigma=\big\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial\theta}\wedge\frac{\partial\gamma}{\partial\rho}\big\rVert\,d\theta\,d\rho è l’elemento di area, e

\[ \hat n\,d\sigma \;=\; \left(\frac{\partial\gamma}{\partial\theta}\wedge\frac{\partial\gamma}{\partial\rho}\right)\,d\theta\,d\rho \]

è il vettore area orientato.

\[\quad\]

Una parametrizzazione spesso utilizzata è quella data dalle coordinate sferiche, rappresentate in figura 1 e definite come segue.

Proposizione 1.4. In \mathbb{R}^3, le coordinate sferiche soddisfano le seguenti relazioni rispetto alle coordinate cartesiane:

\[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

dove \rho è la distanza dall’origine, \theta è l’angolo azimutale e \phi è l’angolo polare.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: coordinate sferiche.

\[\quad\]

NOTA: Tecnicamente parlando, questa non è una parametrizzazione nel senso della definizione 1.2, perché non è iniettiva ai poli nord e sud (corrispondenti ai valori di \phi=0 e \phi=\pi). Tuttavia, la consideriamo come parametrizzazione, essendo tali singolarità trascurabili. A essere precisi, per parametrizzare la sfera, bisognerebbe parametrizzare i due emisferi separatamente e poi “incollare” le due mappe in modo liscio, ma questo va oltre gli obiettivi di questa dispensa.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

\[\vec{F}(x,y,z)=(1,ze^{yz},ye^{yz}).\]

Calcolare il flusso attraverso il quadrato

\[\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\le x\le 2,\, 0\le y\le 2,\, z=0\},\]

con versore normale nel verso delle z positive.

Svolgimento.

Ci viene richiesto il versore normale nel verso delle z positive. La parametrizzazione che scegliamo per \Sigma è la seguente

\[\vec{\gamma}(x,y)=(x,y,0),\qquad x\in [0,2],\,y\in [0,2].\]

Dunque possiamo calcolare un vettore normale come prodotto vettoriale dei vettori tangenti

\[\dfrac{\partial\vec{\gamma}}{\partial x}(x,y)\wedge \dfrac{\partial\vec{\gamma}}{\partial y}(x,y)=(1,0,0)\wedge(0,1,0)=(0,0,1).\]

Notiamo che il risultato è proprio il versore positivo lungo l’asse z, quindi il versore normale è \hat{n}=(0,0,1).

\[\quad\]

Figura 2: campo vettoriale \vec{F}(x,y,0) = (1,\ 0,\ y) sul quadrato \Sigma nel piano di equazione z = 0.

\[\quad\]

Poichè siamo nel piano di equazione z=0, si ha \vec{F}(x,y,0)=(1,0,y), quindi l’integrale doppio da impostare è

\[\iint_D(1,0,y)\cdot(0,0,1)dxdy=\int_0^2\int_0^2ydydx=\int_0^2\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^2dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 4dx=4.\]

Quindi concludiamo che

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \iint_{\Sigma}\vec F\cdot \hat{n}d\sigma=4. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, usando la definizione, il flusso del campo vettoriale

\[ \vec F(x,y,z)=\left( yz,xz,xy\right) \]

attraverso la superficie \Sigma dove

\[ \Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb R^{3} : x+y+z=1,\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0\}, \]

orientata in modo che la prima componente del versore normale sia negativa.

Svolgimento.

Rappresentiamo la superficie \Sigma in figura 3.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: la superficie \Sigma (in blu) è la parte del piano di equazione x+y+z=1 situata nel primo ottante.

\[\quad\]

Per determinare il flusso

\[\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot\hat{n} \,d\sigma\]

descriviamo \Sigma parametrizzandola con le variabili y e z. Dal vincolo x+y+z=1 otteniamo la rappresentazione

\[ \vec{\gamma}(y,z)=\left(1-y-z,\;y,\;z\right), \quad \text{con } y\ge0,\;z\ge0,\;y+z\le1. \]

I vettori tangenti sono

\[ \dfrac{\partial \vec{\gamma}}{\partial y}(y,z)=(-1,1,0), \qquad \dfrac{\partial \vec{\gamma}}{\partial z}(y,z)=(-1,0,1), \]

perciò un vettore normale non normalizzato è

\[ \dfrac{\partial \vec{\gamma}}{\partial y}(y,z)\wedge \dfrac{\partial \vec{\gamma}}{\partial z}(y,z)=(1,1,1).\]

Poiché si richiede che la prima componente del versore normale sia negativa, consideriamo l’opposto e si ha \hat{n}\,d\sigma=(-1,-1,-1)\,dy\,dz. Valutiamo quindi il prodotto scalare tra il campo e tale vettore:

\[ \vec{F}\left(\vec{\gamma}(y,z)\right)\cdot(-1,-1,-1) = -\left(yz+(1-y-z)z+(1-y-z)y\right) = y^{2}+yz-y+z^{2}-z. \]

Il flusso cercato diventa l’integrale doppio sul dominio triangolare D=\{(y,z)\mid y\ge0,\;z\ge0,\;y+z\le1\}:

\[\begin{aligned} \iint_{\Sigma}\!\!\vec F\cdot\hat{n} d\sigma &= \int_0^1 \int_0^{1 - y} \left(y^2 + yz - y + z^2 - z\right) \, dz \, dy \\ &= \int_0^1 \left[ y^2 z + \dfrac{1}{2} y z^2 - y z + \dfrac{1}{3} z^3 - \dfrac{1}{2} z^2 \right]_0^{1 - y} dy \\ &= \int_0^1 \left[ y^2 (1 - y) + \dfrac{1}{2} y (1 - y)^2 - y (1 - y) + \dfrac{1}{3} (1 - y)^3 - \dfrac{1}{2} (1 - y)^2 \right] dy \\ &= -\dfrac{1}{8}. \end{aligned}\]

Dunque il flusso del campo vettoriale attraverso \Sigma, con l’orientazione indicata, vale

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle\iint_{\Sigma}\!\!\vec F\cdot\hat{n} d\sigma=-\dfrac18. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

\[\iint_\Sigma \vec{F}\cdot \hat{n}\,d \sigma\]

dove \Sigma è la superficie laterale del cilindro

\[\tau=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+z^2 \leq 1\, , \, -1 \leq y \leq 2\}\]

con

\[\vec{F}(x,y,z)=\left(x+\dfrac{x^5}{5}+z^2,-x^4y-z^2,-2z \right)\]

e normale orientata all’esterno. Si risolva l’esercizio applicando la definizione di flusso di un campo vettoriale.

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