Teorema degli zeri dimostrazione

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L’enunciato del teorema degli zeri è estremamente intuitivo; in poche parole, il teorema degli zeri afferma che se vogliamo disegnare il grafico di una funzione continua, “senza staccare la penna dal foglio”, partendo da un valore della funzione $f(a)$ negativo (risp. positivo) e vogliamo arrivare a un valore della funzione $f(b)$ positivo (risp. negativo) dobbiamo necessariamente attraversare l’asse delle ascisse; ovvero dobbiamo trovare almeno un valore $x_0$ in cui la funzione $f(x_0)$ vale $0$ . Vediamo l’enunciato formale e una sua dimostrazione costruttiva.

Teorema (Teorema degli zeri). Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Se $f(a)\cdot f(b) < 0$ , allora esiste $x_0\in \left(a,b\right)$ tale che $f(x_0)=0$ .

Dimostrazione. Per ipotesi si ha $f(a)\cdot f(b) < 0$ . Vogliamo costruire induttivamente una successione di intervalli $[a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_n,b_n]$ con la proprietà che il segno delle successioni $\{f(a_n)\}$ e $\{f(b_n)\}$ sia costante ovvero continui a valere

$f(a_n) \cdot f(b_n) < 0 .$

Procediamo per induzione. Come primo passo, poniamo $\left[a_0,b_0\right]:=\left[a,b\right]$ . Per ipotesi, $f(a_0)\cdot f(b_0)<0$ . Come passo successivo, supposto di aver costruito l’intervallo
$[a_n,b_n]$ tale che $f(a_n) \cdot f(b_n) < 0$ procediamo a costruire $[a_{n+1},b_{n+1}]$ nel seguente modo:
se $f\left(\dfrac{a_n+b_n}{2}\right)=0$ , poniamo $x_0=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ e abbiamo finito, altrimenti definiamo

(1) $\begin{equation*} [a_{n+1},b_{n+1}]= \begin{cases} \left[a_n,\dfrac{a_n+b_n}{2}\right], & \mbox{se } f(a_n)\cdot f\left( \dfrac{a_n+b_n}{2}\right) <0\\\\ \left[\dfrac{a_n+b_n}{2},b_n\right], & \mbox{altrimenti. } \end{cases} \end{equation*}$

Osserviamo che, $\forall n \in \mathbb{N}$ , abbiamo

$a_{n+1} \geq a_n \qquad \mbox{e} \qquad b_{n+1}\leq b_n,$

dunque $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ sono due successioni monotone. Per il teorema sulle successioni monotone,

$\exists \lim_{n \to +\infty} a_n =\sup_n a_n =: x_0^-, \qquad \qquad \exists \lim_{n \to +\infty} b_n =\inf_n b_n =: x_0^+$

Inoltre, per costruzione, i termini generici delle due successioni si avvicinano all’aumentare di $n$ in quanto estremi di intervalli che via via vengono dimezzati. Formalmente

$0< b_n-a_n= \dfrac{b-a}{2^n}\quad \forall n\in \mathbb{N},$

dunque, passando al limite per $n \to +\infty$ , e ricordando che

$\lim_{n \to +\infty} b_n - a_n = \lim_{n \to +\infty} b_n - \lim_{n \to+ \infty} a_n = x_0^+ - x_0^-=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{b-a}{2^n} =0$

otteniamo

$x_0^+ - x_0^-= 0$

da cui $x_0^+ = x_0^-$ . Chiamato $x_0$ questo limite comune di $a_n$ e $b_n$ , ci manca da dimostrare che $f(x_0)=0$ .

Ancora per costruzione abbiamo che $f(a_n)$ e $f(b_n)$ hanno segno costante e discorde e quindi $f(a_n) \cdot f(b_n) < 0$ , da cui, passando al limite [1]

$\lim_{n \to +\infty} f(a_n) \cdot f(b_n) \leq 0.$

Inoltre, per continuità della funzione $f$ abbiamo

$f(x_0) = f\big(\lim_{n \to +\infty} a_n \big) = \lim_{n \to +\infty} f(a_n)$

$f(x_0) = f \big(\lim_{n \to +\infty} b_n \big) = \lim_{n \to +\infty} f(b_n)$

e quindi

$f(x_0)^2 = f(x_0) \cdot f(x_0) = \lim_{n \to+ \infty} f(a_n) \cdot \lim_{n \to+ \infty} f(b_n) = \lim_{n \to+ \infty} f(a_n) \cdot f(b_n) \leq 0 .$

Essendo $f$ una funzione a valori reali tale che $f^2(x_0)\leq0$ , necessariamente $f(x_0)=0$ . Questo conclude la dimostrazione.

1. Ricordiamo che il limite di una successione è un punto della chiusura dell’insieme immagine della successione. Nel nostro caso l’immagine è contenuta nell’insieme $(-\infty,0)$ , quindi a priori il limite appartiene $[-\infty,0]$ . Sostanzialmente la disuguaglianza $f(a_n)f(b_n)<0$ al limite per $n\to+\infty$ diventa $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(a_n)f(b_n)\leq 0$ . ↩