Teorema degli zeri dimostrazione

Teorema degli zeri

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L’enunciato del teorema degli zeri è estremamente intuitivo; in poche parole, il teorema degli zeri afferma che se vogliamo disegnare il grafico di una funzione continua, “senza staccare la penna dal foglio”, partendo da un valore della funzione f(a) negativo (risp. positivo) e vogliamo arrivare a un valore della funzione f(b) positivo (risp. negativo) dobbiamo necessariamente attraversare l’asse delle ascisse; ovvero dobbiamo trovare almeno un valore x_0 in cui la funzione f(x_0) vale 0. Vediamo l’enunciato formale e una sua dimostrazione costruttiva.

 

Teorema (Teorema degli zeri).  Sia f: [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Se f(a)\cdot f(b) < 0, allora esiste x_0\in \left(a,b\right) tale che f(x_0)=0.

 

Dimostrazione. Per ipotesi si ha f(a)\cdot f(b) < 0. Vogliamo costruire induttivamente una successione di intervalli [a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_n,b_n] con la proprietà che il segno delle successioni \{f(a_n)\} e \{f(b_n)\} sia costante ovvero continui a valere

    \[f(a_n) \cdot f(b_n) < 0 .\]

Procediamo per induzione. Come primo passo, poniamo \left[a_0,b_0\right]:=\left[a,b\right]. Per ipotesi, f(a_0)\cdot f(b_0)<0. Come passo successivo, supposto di aver costruito l’intervallo
[a_n,b_n] tale che f(a_n) \cdot f(b_n) < 0 procediamo a costruire [a_{n+1},b_{n+1}] nel seguente modo:
se f\left(\dfrac{a_n+b_n}{2}\right)=0, poniamo x_0=\dfrac{a_n+b_n}{2} e abbiamo finito, altrimenti definiamo

(1)   \begin{equation*} [a_{n+1},b_{n+1}]= \begin{cases} \left[a_n,\dfrac{a_n+b_n}{2}\right], & \mbox{se } f(a_n)\cdot f\left( \dfrac{a_n+b_n}{2}\right) <0\\\\ \left[\dfrac{a_n+b_n}{2},b_n\right], & \mbox{altrimenti. } \end{cases} \end{equation*}

Osserviamo che, \forall n \in \mathbb{N}, abbiamo

    \[a_{n+1} \geq a_n \qquad \mbox{e} \qquad b_{n+1}\leq b_n,\]

dunque \{a_n\} e \{b_n\} sono due successioni monotone. Per il teorema sulle successioni monotone,

    \[\exists \lim_{n \to +\infty} a_n =\sup_n a_n =: x_0^-, \qquad \qquad \exists \lim_{n \to +\infty} b_n =\inf_n b_n =: x_0^+\]

Inoltre, per costruzione, i termini generici delle due successioni si avvicinano all’aumentare di n in quanto estremi di intervalli che via via vengono dimezzati. Formalmente

    \[0< b_n-a_n= \dfrac{b-a}{2^n}\quad \forall n\in \mathbb{N},\]

dunque, passando al limite per n \to +\infty, e ricordando che

    \[\lim_{n \to +\infty} b_n - a_n = \lim_{n \to +\infty} b_n - \lim_{n \to+ \infty} a_n = x_0^+ - x_0^-=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{b-a}{2^n} =0\]

otteniamo

    \[x_0^+ - x_0^-= 0\]

da cui x_0^+ = x_0^-. Chiamato x_0 questo limite comune di a_n e b_n, ci manca da dimostrare che f(x_0)=0.

Ancora per costruzione abbiamo che f(a_n) e f(b_n) hanno segno costante e discorde e quindi f(a_n) \cdot f(b_n) < 0, da cui, passando al limite [1]

    \[\lim_{n \to +\infty} f(a_n) \cdot f(b_n) \leq 0.\]

Inoltre, per continuità della funzione f abbiamo

    \[f(x_0) = f\big(\lim_{n \to +\infty} a_n \big) = \lim_{n \to +\infty} f(a_n)\]

    \[f(x_0) = f \big(\lim_{n \to +\infty} b_n \big) = \lim_{n \to +\infty} f(b_n)\]

e quindi

    \[f(x_0)^2 = f(x_0) \cdot f(x_0) = \lim_{n \to+ \infty} f(a_n) \cdot \lim_{n \to+ \infty} f(b_n) = \lim_{n \to+ \infty} f(a_n) \cdot f(b_n) \leq 0 .\]

Essendo f una funzione a valori reali tale che f^2(x_0)\leq0, necessariamente f(x_0)=0. Questo conclude la dimostrazione.

 

 

1. Ricordiamo che il limite di una successione è un punto della chiusura dell’insieme immagine della successione. Nel nostro caso l’immagine è contenuta nell’insieme (-\infty,0), quindi a priori il limite appartiene [-\infty,0]. Sostanzialmente la disuguaglianza f(a_n)f(b_n)<0 al limite per n\to+\infty diventa \displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(a_n)f(b_n)\leq 0.