Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-744227df80cd6a8f53555bedf67d6457_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-769def825c7d8baf80bba500ff786d4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa69be7539f00071c7f0a587a4296ece_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com U](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f7400fabac0dbaa1defc542644cddb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui ,
,
e
,
,
.
Testo dell’esercizio
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-563061f31f78294986510095e759d908_l3.png)
Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità definita da
per ogni
:
, per qualsiasi
;
;
.
Svolgimento.
Il grafico della funzione è rappresentato in blu in figura 3a.
Figura 3a: la funzione dell’esercizio 3. In rosso è evidenziato l’intorno
di
, in verde l’intorno
di
. Dato che
per ogni
, se
allora
.
- Fissiamo
. Poiché sia
che
sono numeri reali, dobbiamo rifarci al primo caso esplicitato dalla tabella 1. Fissiamo
, determinando quindi un intorno
di
. Poiché
per ogni
, abbiamo
(3)
Per l’arbitrarietà di
, la definizione 1 è verificata e dunque
(4)
- Sia ora
e vogliamo mostrare che
. Dunque siamo nel caso 9 della tabella 1. Fissiamo dunque
. Di nuovo grazie al fatto che
per ogni
, scegliendo
si ha
(5)
Poiché
è arbitrario, si ha
(6)
La situazione è rappresentata in figura 3b.
Figura 3b: illustrazione del punto 2 dell’esercizio 3. In rosso l’intorno
di
, mentre in verde è rappresentato l’intorno
di
. Dato che
per ogni
, si ha che
se e solo se
.
- Per quest’ultima parte dell’esercizio il ragionamento è del tutto analogo al precedente: poiché
, siamo nel caso 5 della tabella 1. Fissiamo dunque
; si ha
(7)
Per l’arbitrarietà di
, si ottiene quindi
(8)