Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio limiti notevoli – 4

Limiti notevoli in funzioni

Home » Esercizio limiti notevoli – 4

Presentiamo il quarto esercizio sui limiti notevoli, dalla raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli. Esso contiene 5 limiti affrontabili con l’ausilio dei limiti notevoli del seno, del coseno e del numero di Nepero e le identità che da essi derivano.

Ricordiamo anche il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 3 e il successivo Esercizio limiti notevoli – 5 .

 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

\[\begin{aligned} &1. \quad \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\right)^x;\\ &2. \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x - \sin x}{x^2};\\ &3. \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 2x}{x \; \tan x};\\ &4. \quad \lim_{x \to \alpha} \dfrac{\sin x - \sin \alpha}{x-\alpha}, \qquad \alpha \in \mathbb{R};\\ &5. \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \dfrac{2\cos x - \sqrt{3}}{6x-\pi}. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Si rimanda anche ai Richiami teorici sui limiti notevoli oppure alla dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Richiami teorici

Teorema 1 (algebra dei limiti).  Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

\[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

\[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Il prossimo risultato è anche noto come teorema di cambio di variabile nei limiti.

Teorema 2 (di sostituzione). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

\[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}

(2) \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}= 1, \end{equation*}

(4) \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}

 

Di seguito la soluzione dell’esercizio.

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi