Esercizi vari limiti notevoli – 16

Home » Esercizi vari limiti notevoli – 16

Esercizi vari limiti notevoli – 16

Nell’articolo numero 16 della raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli svolgiamo 5 esercizi di carattere vario sui limiti notevoli.

Ricordiamo inoltre il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 15 e il successivo Esercizio limiti notevoli – 17 per ulteriori esercizi vari sui limiti notevoli.

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 100 esercizi svolti sui limiti notevoli.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(2x)}-e^{\sin x}}{\tan x};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} 2^{-x}\cdot\left( 2+\dfrac{3}{x}\right) ^x;\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} x\left[ \ln(2x+1)-\ln x-\ln 2\right] ;\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(1+x)};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x+3e^x-3+x^3}{\ln(1+x)^2+2x-\cos x+1}. \end{aligned}$

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.

Richiami teorici.

Teorema 1.

Siano $f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,$

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

$\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\{x \in A \colon g(x) \neq 0\}$ , allora si ha:

$\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},$

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.$

Sia $I(\ell)$ un intorno di $\ell$ e sia $g \colon I(\ell) \to \mathbb{R}$ tale che

se $\ell \in \mathbb{R}$ , $g$ è continua in $\ell$ ;
se $\ell = \pm \infty$ , allora esiste $\lim\limits_{y \to \ell}g(y)$ .

Allora,

$\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).$

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, & \qquad \qquad \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x}= 0, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a-1}{x}= a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x -1}{x}= \ln a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(2x)} - e^{\sin x}}{\tan x} \overset{\ast}{=}\\[10pt] &= \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2\sin x \cos x} - e^{\sin x}}{\tan x} \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x} \left( e^{2\sin x \cos x - \sin x} - 1 \right)}{\tan x} \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} e^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \dfrac{e^{\sin x(2\cos x - 1)} - 1}{\sin x (2\cos x - 1)} \cdot (2\cos x - 1) \cdot \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{x}{\tan x} \\[10pt] & \overset{\star}{=} \lim_{x \to 0} e^{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x(2\cos x - 1)} - 1}{\sin x (2\cos x - 1)} \cdot \\[10pt] &\cdot \lim_{x \to 0} (2\cos x - 1) \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \\[10pt] & \overset{\spadesuit - \divideontimes}{=} 1. \end{aligned}$

dove in $\ast$ si è usato il fatto che $\sin(2x)=2\sin x \cdot \cos x$ , in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(3)-(6).

Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere un’espressione come in (7) si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} 2^{-x}\cdot\left( 2+\dfrac{3}{x}\right) ^x&=\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{2}\right) ^x= \lim_{x \to +\infty} \left( 1+\dfrac{3}{2x}\right) ^x\\ & =\lim_{x \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{\frac{2x}{3}}\right) ^{\frac{2x}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &\overset{\star}{=} \left( \lim_{x \to +\infty}\left( 1+\dfrac{1}{\frac{2x}{3}}\right) ^{\frac{2x}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &\overset{\spadesuit}{=} e^{\frac{3}{2}}, \end{aligned}$

dove in $\star$ è stato usato il teorema 2 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (7).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x\left[ \ln(2x+1)-\ln x-\ln 2\right] & =\lim_{x \to +\infty} x\ln\left( \dfrac{2x+1}{2x}\right) \\ & \lim_{x \to +\infty}x\ln\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) \\ & =\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) }{\frac{1}{2x}}\cdot\dfrac{1}{2}\overset{\spadesuit-\divideontimes}{=}\dfrac{1}{2}, \end{aligned}$

dove in $\spadesuit$ si è utilizzato (4) e in $\divideontimes$ si è utilizzato il teorema 2.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(1+x)} & = \lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+x)}\\ & =\lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\dfrac{x}{\ln(1+x)}\cdot2\\ &\overset{\star}{=}2 \lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &\overset{\spadesuit}{=} 2, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in in $\spadesuit$ si è utilizzato (4)-(6).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x + 3e^x - 3 + x^3}{\ln(1 + x)^2 + 2x - \cos x + 1} \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \cdot \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \dfrac{e^x - 1}{x} \cdot x + x^3}{\dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot (x^2 + 2x) + 2x - \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot x^2} \\[10pt] & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left[ x \cdot \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \dfrac{e^x - 1}{x} + x^2 \right]}{x \left[ \dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot (x + 2) + 2 - \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot x \right]} \\[10pt] & \overset{\star}{=} \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} + \lim\limits_{x \to 0} x^2}{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} (x + 2) + 2 - \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot \lim\limits_{x \to 0} x} \\[10pt] & \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{0 + 3 + 0}{2 + 2 - 0} = \dfrac{3}{4}, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(4)-(6).