Esercizi vari limiti notevoli – 16

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Nell’articolo numero 16 della raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli svolgiamo 5 esercizi di carattere vario sui limiti notevoli.

Ricordiamo inoltre il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 15 e il successivo Esercizio limiti notevoli – 17 per ulteriori esercizi vari sui limiti notevoli.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(2x)}-e^{\sin x}}{\tan x};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} 2^{-x}\cdot\left( 2+\dfrac{3}{x}\right) ^x;\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} x\left[ \ln(2x+1)-\ln x-\ln 2\right] ;\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(1+x)};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x+3e^x-3+x^3}{\ln(1+x)^2+2x-\cos x+1}. \end{aligned}$

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Si rimanda anche ai Richiami teorici sui limiti notevoli oppure alla dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Richiami teorici.

Teorema 1.

Siano $f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,$

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

$\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\{x \in A \colon g(x) \neq 0\}$ , allora si ha:

$\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},$

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.$

Sia $I(\ell)$ un intorno di $\ell$ e sia $g \colon I(\ell) \to \mathbb{R}$ tale che

se $\ell \in \mathbb{R}$ , $g$ è continua in $\ell$ ;
se $\ell = \pm \infty$ , allora esiste $\lim\limits_{y \to \ell}g(y)$ .

Allora,

$\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).$

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, & \qquad \qquad \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x}= 0, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a-1}{x}= a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x -1}{x}= \ln a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(2x)} - e^{\sin x}}{\tan x} \overset{\ast}{=}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2\sin x \cos x} - e^{\sin x}}{\tan x} \\\\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x} \left( e^{2\sin x \cos x - \sin x} - 1 \right)}{\tan x} \\\\ & = \lim_{x \to 0} e^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \dfrac{e^{\sin x(2\cos x - 1)} - 1}{\sin x (2\cos x - 1)} \cdot (2\cos x - 1) \cdot \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{x}{\tan x} \\\\ & \overset{\star}{=} \lim_{x \to 0} e^{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x(2\cos x - 1)} - 1}{\sin x (2\cos x - 1)} \cdot \\\\ &\cdot \lim_{x \to 0} (2\cos x - 1) \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \\\\ & \overset{\spadesuit - \divideontimes}{=} 1. \end{aligned}$

dove in $\ast$ si è usato il fatto che $\sin(2x)=2\sin x \cdot \cos x$ , in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(3)-(6).

Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere un’espressione come in (7) si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} 2^{-x}\cdot\left( 2+\dfrac{3}{x}\right) ^x&=\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{2}\right) ^x= \lim_{x \to +\infty} \left( 1+\dfrac{3}{2x}\right) ^x\\ & =\lim_{x \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{\frac{2x}{3}}\right) ^{\frac{2x}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &\overset{\star}{=} \left( \lim_{x \to +\infty}\left( 1+\dfrac{1}{\frac{2x}{3}}\right) ^{\frac{2x}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &\overset{\spadesuit}{=} e^{\frac{3}{2}}, \end{aligned}$

dove in $\star$ è stato usato il teorema 2 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (7).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x\left[ \ln(2x+1)-\ln x-\ln 2\right] & =\lim_{x \to +\infty} x\ln\left( \dfrac{2x+1}{2x}\right) \\ & \lim_{x \to +\infty}x\ln\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) \\ & =\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln\left( 1+\dfrac{1}{2x}\right) }{\frac{1}{2x}}\cdot\dfrac{1}{2}\overset{\spadesuit-\divideontimes}{=}\dfrac{1}{2}, \end{aligned}$

dove in $\spadesuit$ si è utilizzato (4) e in $\divideontimes$ si è utilizzato il teorema 2.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(1+x)} & = \lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+x)}\\ & =\lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\dfrac{x}{\ln(1+x)}\cdot2\\ &\overset{\star}{=}2 \lim_{x \to 0} e^{-x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &\overset{\spadesuit}{=} 2, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in in $\spadesuit$ si è utilizzato (4)-(6).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x + 3e^x - 3 + x^3}{\ln(1 + x)^2 + 2x - \cos x + 1} \\\\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \cdot \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \dfrac{e^x - 1}{x} \cdot x + x^3}{\dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot (x^2 + 2x) + 2x - \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot x^2} \\\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left[ x \cdot \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \dfrac{e^x - 1}{x} + x^2 \right]}{x \left[ \dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot (x + 2) + 2 - \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot x \right]} \\\\ & \overset{\star}{=} \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x^2} + 3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} + \lim\limits_{x \to 0} x^2}{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} (x + 2) + 2 - \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right) \cdot \lim\limits_{x \to 0} x} \\\\ & \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{0 + 3 + 0}{2 + 2 - 0} = \dfrac{3}{4}, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(4)-(6). Alternativamente, si poteva procedere nel seguente modo:

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x + 3e^x -3 + x^3}{\ln(1+x)^2 + 2x - \cos x +1} &= \dfrac{3 \dfrac{(e^x - 1)}{x} \cdot x + x^3 + \sin^2 x} {2 \dfrac{\ln(1+x)}{x} \cdot x + 2x + 1 - \cos x} \\\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{x \left( 3 \dfrac{(e^x -1)}{x} + x^2 + \dfrac{\sin x}{x} \cdot \sin x \right)} {x \left( 2 \dfrac{\ln(1+x)}{x} + 2 + \dfrac{1 - \cos x}{x} \right)} \\\\ &= \dfrac{3 + 0 + 1 \cdot 0}{2 + 2 + 0} \\\\ &= \dfrac{3}{4}. \end{aligned}$

La principale differenza rispetto al procedimento precedente è che qui abbiamo utilizzato la proprietà

$\ln(1+x)^2 = 2 \ln(1+x), \quad \text{per } x > -1,$

mentre nel metodo precedente abbiamo invece sviluppato il quadrato del binomio come

$\ln(1+x)^2 = \ln(1 + x^2 + 2x), \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}.$

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