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Esercizi riepilogo limiti notevoli – 20

Limiti notevoli in funzioni

Home » Esercizi riepilogo limiti notevoli – 20

In questo articolo finale, tratto dalla raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli, proponiamo 5 esercizi di riepilogo sui limiti notevoli. Gli esercizi sono abbastanza articolati, per consentire al lettore di testare la sua preparazione.

Per un ulteriore riepilogo sui limiti notevoli, segnaliamo il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 19 .
 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Sara Sottile.

 

Notazioni

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\mathbb{R} insieme dei numeri reali;
\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} insieme esteso dei numeri reali;
I(x_0) intorno di centro x_0 e raggio qualsiasi;
f+g funzione somma delle funzioni f e g;
f\cdot g funzione prodotto delle funzioni f e g;
\dfrac{f}{g} funzione rapporto delle funzioni f e g.

 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

\[\begin{aligned} &\;1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{4^{\frac{1}{x^2}}+6^{\frac{1}{x^2} } }{3^{\frac{1}{x^2}}+5^{\frac{1}{x^2}}}\right)^{x^2};\\[6pt] &\;2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos(\alpha x))}{\ln(\cos(\beta x))}, \qquad \alpha \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}\setminus\{0\} ;\\[6pt] &\;3. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \bigl(\operatorname{arcsinh} x\bigr)^{\cot x};\\[6pt] &\;4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(1+\alpha x)^{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{ \sin(\pi x^\alpha)}}{ 1-\cos(3 \sqrt{x})}, \qquad \alpha >0 ;\\[6pt] &\;5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right)^4}{\left(\operatorname{arcsinh}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^3 - \frac{1}{x^\alpha}\sin\left( \frac{1}{x}\right)}, \qquad \alpha > -1. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Si rimanda anche ai Richiami teorici sui limiti notevoli oppure alla dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Richiami teorici.

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli [2].

Teorema 1  ([1, Teorema 4.10]). Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

\[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

\[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \\left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 (Teorema di sostituzione – [1, Teorema 4.15]). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

\[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

 

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

 

(1) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{equation*}

(2) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \end{equation*}

(4) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 \end{equation*}

(5) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e, \qquad a\in\mathbb{R}^+ \end{equation*}

(6) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} = a, \qquad a\in\mathbb{R} \end{equation*}

(7) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a, \qquad a\in\mathbb{R}^+ \end{equation*}

(8) \begin{equation*} \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e, \qquad \left(\text{eq. }\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\right) \end{equation*}

 

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