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Esercizi misti limiti notevoli 7

Limiti notevoli in funzioni

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Esercizio numero 7 sui limiti notevoli

 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

    \[\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3 \sin x}{4 \ln(1+x)};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x+e^{-x}-2}{3x^2};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x - e^x}{\sin x};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{3^{2\cos x}-1};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^x. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.

 

Richiami teorici.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

  Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1)   \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}

(4)   \begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x -1}{x}= \ln a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}

(5)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}


Svolgimento.

 

  1. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{3 \sin x }{4 \ln(1+x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3}{4}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{x}{ \ln(1+x)} \\ &\overset{\star}{=} \dfrac{3}{4} \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x}{ \ln(1+x)} \\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{3}{4}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzata (1)-(3).

    2.  

  2. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x+e^{-x}-2}{3x^2} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x (e^x+e^{-x}-2)}{e^x} \cdot \dfrac{1}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-2e^x + 1}{e^x} \cdot \dfrac{1}{3x^2}\\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^x-1)^2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{3e^x} \\ & \overset{\star}{=} \dfrac{1}{3} \left(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}\right)^2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{e^x} \\ & \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{3}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzata (4).

    3.  

  3. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - e^x}{\sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x -1 + 1 - e^x}{\sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\cos x -1}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin x} - \dfrac{e^x-1}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \right) \\ & \overset{\star}{=}\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x -1}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sin x} - \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sin x}\\ & \overset{\spadesuit}{=} 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = -1, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (1)-(2)-(4).

    4.  

  4. Effettuando la sostituzione t = \cos x in virtù del teorema 2 si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{3^{2\cos x}-1} & = \lim_{t \to 0 } \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ t }{3^{t}-1}\\ & \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\ln 3}, \end{aligned}\]

    dove in \spadesuit si è utilizzato (4).

    5.  

  5. Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (5) si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^x & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+2+1-1}{x+1}\right)^x \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^x \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1}\right)^{\frac{x}{x+1}} \\[10pt] &\overset{\star}{=} \left(\lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1}\right)^{ \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{x+1}} \\ & \overset{\spadesuit}{=} e^1 = e,\right)\\ \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzato (5).

    6.  







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