Esercizi misti limiti notevoli 19

Home » Esercizi misti limiti notevoli 19

Esercizio numero 19 sui limiti notevoli

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\pi-2\arctan\dfrac{1}{x^3}}{\tan(2x)-\sin(2x)};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)+\ln(2-\cos x) }{x\cdot(\tan x-\sin x) };\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\left( \cos\sqrt{x}\right) ^{\sin x}-1 }{\sqrt[3]{\cos x}-1};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin^2x}{\ln(2+\cos x)};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin\left( 1-\cos\dfrac{1}{x}\right) \cdot\arctan(1-x)}{e^{\frac{1}{x^2}}-1}. \end{aligned}$

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.

Richiami teorici.

Teorema 1.

Siano $f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,$

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

$\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\{x \in A \colon g(x) \neq 0\}$ , allora si ha:

$\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},$

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.$

Sia $I(\ell)$ un intorno di $\ell$ e sia $g \colon I(\ell) \to \mathbb{R}$ tale che

se $\ell \in \mathbb{R}$ , $g$ è continua in $\ell$ ;
se $\ell = \pm \infty$ , allora esiste $\lim\limits_{y \to \ell}g(y)$ .

Allora,

$\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).$

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, & \qquad \qquad \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x}= 0, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1, \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a-1}{x}= a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x -1}{x}= \ln a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\pi-2\arctan\dfrac{1}{x^3}}{\tan(2x)-\sin(2x)} & = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{2\arctan x^3}{\tan(2x)-\sin(2x)}=\\\\ & =\lim_{x \to 0^+} 2 \dfrac{\arctan x^3}{x^3}\cdot x^3 \dfrac{1}{\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}-\sin(2x)}\\ &= \lim_{x \to 0^+} 2 \dfrac{\arctan x^3}{x^3}\cdot x^3 \cdot \dfrac{2x}{\sin 2x} \cdot \dfrac{1}{2x} \cdot \dfrac{4x^2}{1-\cos(2x)}\cdot \dfrac{1}{4x^2} \cdot \cos (2x)\\ & \overset{\star}{=} \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\arctan x^3}{x^3}\cdot \lim_{x \to 0^+}\dfrac{2x}{\sin 2x} \cdot \lim_{x \to 0^+}\dfrac{4x^2}{1-\cos(2x)} \cdot \lim_{x \to 0^+} \cos(2x) \\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{2}, \end{aligned}$

dove in $\ast$ è stato usato il fatto che

$\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}= \dfrac{\pi}{2} \quad\text{per ogi} x>0,$

in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(4).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x) + \ln(2 - \cos x)}{x \cdot (\tan x - \sin x)} =\\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{\tan x - \sin x} \cdot \dfrac{1}{x^4} \cdot \ln\left( \cos x \left( 2 - \cos x \right) \right) \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{\dfrac{\sin x}{\cos x} - \sin x} \cdot \dfrac{\ln(2 \cos x - \cos^2 x + 1 - 1)}{x^4} \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{x^2}{1 - \cos x} \cdot \cos x \cdot \dfrac{\ln\left[ 1 - \left( \cos x - 1 \right)^2 \right]}{-(\cos x - 1)^2} \cdot \dfrac{-(\cos x - 1)^2}{x^4} \\[10pt] & \overset{\star}{=} \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{1 - \cos x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x \cdot \\[10pt] & \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln\left[ 1 - \left( \cos x - 1 \right)^2 \right]}{-(\cos x - 1)^2} \cdot \left(- \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \right)^2 \right) \\[10pt] & \overset{\spadesuit}{=} 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left( -\dfrac{1}{4} \right) = -\dfrac{1}{2}, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1, in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(5) e in $\divideontimes$ si è utilizzato il teorema 2 per il quarto e il quinto limite.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\left( \cos\sqrt{x}\right) ^{\sin x}-1 }{\sqrt[3]{\cos x}-1} =& \lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^{\sin x\ln\left( \cos\sqrt{x}\right) }-1}{\cos x-1}\cdot\left( \sqrt[3]{\cos^2 x}+\sqrt[3]{\cos x}+1\right)\\ &\overset{\star}{=} 3\lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^{\sin x\ln\left( \cos\sqrt{x}\right) }-1}{\cos x-1}\\ &= 3 \lim_{x \to 0^+}\dfrac{x^2}{\cos x-1}\cdot \dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{e^{\frac{\sin x}{2}\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right) }-1}{\frac{\sin x}{2}\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right) }\cdot\dfrac{x}{2}\cdot\\ & \quad \cdot \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right)}{-\sin^2 \sqrt{x}} \cdot \dfrac{-\sin^2 \sqrt{x}}{x}\cdot x \\ &\overset{\star}{=} -\dfrac{3}{2}\lim_{x \to 0^+}\dfrac{x^2}{\cos x-1}\cdot \lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^{\frac{\sin x}{2}\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right) }-1}{\frac{\sin x}{2}\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right) }\cdot \\ & \quad \cdot \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln\left( 1-\sin^2\sqrt{x}\right)}{-\sin^2 \sqrt{x}} \cdot \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\sin^2 \sqrt{x}}{x} \\ & \overset{\spadesuit-\divideontimes}{=} -\dfrac{3}{2} \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 =3, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1, in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(5)-(7) e in $\divideontimes$ si è utilizzato il teorema 2 per il secondo, il quarto e il quinto limite.

Utilizzando la sostituzione $t= x - \pi$ in virtù del teorema 2 si ha:
$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin^2x}{\ln(2+\cos x)} &= \lim_{t\to 0} \dfrac{\sin^2 t}{\ln(2-\cos t)} \\& = \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}\cdot\dfrac{t^2}{\ln(2-\cos t)}\\ & =\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}\cdot \dfrac{1-\cos t}{\ln\left(1+\left( 1-\cos t\right) \right) }\cdot\dfrac{t^2}{1-\cos t}\\ &\overset{\star}{=}\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}\cdot \lim_{t\to 0}\dfrac{1-\cos t}{\ln\left(1+\left( 1-\cos t\right) \right) }\cdot\lim_{t\to 0}\dfrac{t^2}{1-\cos t}\\ &\overset{\spadesuit-\divideontimes}{=} 1 1\cdot \cdot 2 =2, \end{aligned}$

dove in $\ast$ è stato usato il fatto che $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ , in $\star$ si è utilizzato il teorema 1, in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2)-(5) e in $\divideontimes$ è stato utilizzato il teorema 2 per il secondo limite.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} &\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin\left( 1 - \cos \dfrac{1}{x} \right) \cdot \arctan(1 - x)}{e^{\frac{1}{x^2}} - 1} =\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin\left( 1 - \cos \dfrac{1}{x} \right)}{1 - \cos \dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{1 - \cos \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x^2}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{e^{\frac{1}{x^2}} - 1} \cdot \arctan(1 - x) \\[10pt] & \overset{\star}{=} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin\left( 1 - \cos \dfrac{1}{x} \right)}{1 - \cos \dfrac{1}{x}} \cdot \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \cos \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x^2}} \cdot\\[10pt] & \quad \cdot \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{e^{\frac{1}{x^2}} - 1} \cdot \lim_{x \to +\infty} \arctan(1 - x) \\[10pt] & \overset{\spadesuit - \divideontimes}{=} 1 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{4}, \end{aligned}$

dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1, in $\spadesuit$ è stato utilizzato (1)-(2)-(7) e in $\divideontimes$ è stato utilizzato il teorema 2 per i primi tre limiti.

Document

Gianluca Ruggeri

26/10/2023

Mi sono imbattuto nel sito preparando analisi 1. Il materiale è di qualità e spiegato molto bene. Assolutamente consigliato.

Filippo Marchisio

19/10/2023

Un sito veramente completo che cresce ogni giorno. Materiale curato nella sostanza ed efficace nella grafica

Sandra Vigliarolo

18/10/2023

Una svolta per gli esami! Sito ottimo e ben strutturato, navigazione intuitiva ! ho chiarito molti dubbi e ringrazio il prof. Valerio per avermi aiutata su alcune problematiche..come avere un insegnante privato al mio fianco! grazie!!

Preparazione 2.0

27/09/2023

Ottimo sito su cui trovare materiale ben fatto e meticolosamente revisionato. Consigliatissimo!

Domenico Leotta (domeleo)

17/09/2023

Un validissimo aiuto per chi, come me, vuole essere sempre più preparato su argomenti scientifici.

Lorenzo Benzi

15/09/2023

Grazie al professor valerio sono riuscito a preparami per ingegneria, con lui ho affrontato i primi esami , ho passato analisi grazie al professor Valerio. Il professor Valerio è una persona d’oro, molto simpatica, molto esigente , ma sopratutto sà trasmettere positività.Consiglio vivamente .

Daniele Massaro

14/09/2023

Sito estremamente utile per chi sta affrontando lo studio di materie scientifiche. È possibile trovare molto materiale, tra cui esercizi risolti e guidati.

Valerio Michieli

03/09/2023

Consiglio estremamente quest’esperienza. Ho utilizzato questo sito per preparare diversi esami, tra cui “Matematica Generale”. Materiale molto utile e di qualità!

Maurizio Marino

01/09/2023

Ho recentemente utilizzato questo sito per preparare sia il mio esame di analisi 1 e sia quello di Fisica e devo dire che sono rimasto estremamente soddisfatto dell'esperienza. Il materiale fornito è di altissima qualità e le spiegazioni sono chiare ed esaustive. Grazie a questo sito, ho potuto affrontare gli esami con maggiore sicurezza e preparazione, ottenendo il risultato che auspicavo: ovvero passarli entrambi con un buon voto! Lo consiglio vivamente a chiunque sia alla ricerca di un valido supporto per la propria preparazione agli esami o per approfondire le proprie conoscenze. Sarà un prezioso alleato nel vostro percorso di studio!