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Esercizi misti limiti notevoli 12

Limiti notevoli in funzioni

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Esercizio numero 12 sui limiti notevoli

 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

    \[\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln(7x-6)}{\ln(3x-2)};\\ &2. \quad\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-e^x}{\ln(1+2x)};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{4^{x-1}-64}{2(x^2-3x-4)};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x - \ln(\sin(2x)) \right);\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{x}\right)^{x+1} . \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.

Richiami teorici

Teorema 1. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1)   \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}

(4)   \begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a-1}{x}= a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x - 1 }{x} = \ln a, &\qquad \qquad a \in \mathbb{R}^+, \end{equation*}

(6)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}


Svolgimento.

  1. Effettuando la sostituzione t = x-1 in virtù del teorema 2 si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(7x-6)}{\ln(3x-2)} & = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+7t)}{\ln(1+3t)}\\ &= \lim_{t \to 0} \dfrac{7t}{3t}\cdot \dfrac{\ln(1+7t)}{7t}\cdot \dfrac{3t}{\ln(1+3t)}\\ & \overset{\star}{=} \dfrac{7t}{3t}\cdot\lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+7t)}{7t}\cdot \lim_{t \to 0}\dfrac{3t}{\ln(1+3t)}\\ & \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{7}{3}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzata (3).

    2.  

  2. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-e^x}{\ln(1+2x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x (e^x-1)}{\ln(1+2x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x (e^x-1)}{x}\cdot \dfrac{2x}{\ln(1+2x)} \cdot \dfrac{x}{2x}\\ &\overset{\star}{=} \dfrac{1}{2} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x (e^x-1)}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{\ln(1+2x)}\\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{2}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (5) e (3).

    3.  

  3. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 4} \dfrac{4^{x-1}-64}{2(x^2-3x-4)} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{4^{x-1}-4^3}{2(x^2-3x-4)} \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{4^3 (4^{x-4}-1)}{2(x+1)(x-4)} \\ & \overset{\star}{=} 32 \; \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{x+1}\cdot \lim_{x \to 4}\dfrac{4^{x-4}-1}{x-4} \\ & \overset{\spadesuit-\divideontimes}{=} \dfrac{32}{5} \ln 4 =\dfrac{64}{5} \; \ln 2 \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1, in \spadesuit si è utilizzato (4) e in \divideontimes è stato applicato il teorema 2 per il secondo limite.

    4.  

  4. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \left( \ln x - \ln(\sin(2x)) \right) & = \lim_{x \to 0^+} \ln\left( \dfrac{x}{\sin(2x)}\right) \\ & = \lim_{x \to 0^+} \ln\left( \dfrac{2x}{\sin(2x)} \cdot \dfrac{1}{2} \right) \\ & \overset{\star}{=} \ln\left( 2 \lim_{x \to 0^+} \dfrac{2x}{\sin(2x)} \right)\\ &\overset{\spadesuit}{=} \ln\left(\dfrac{1}{2}\right), \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in in \spadesuit si è utilizzato (1).

    5.  

  5. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{x}\right)^{x+1} & = \lim_{x \to 0^+} \left(\left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2\right)^{x} \cdot \left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2\right)\right) \\ & \overset{\star}{=}2 \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot \right)^{x} \cdot \lim_{x \to 0^+} 2^x \cdot \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \right) \\ &\overset{\spadesuit}{=} 2, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e il fatto che

        \[\lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot \right)^{x} = \lim_{x \to 0^+} \exp\left(x \ln \left(\dfrac{\sin(2x)}{2x} \right)\right)\overset{\text{th. 2}}}{=} \exp\left(\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln \left(\lim_{x \to 0^+}\dfrac{\sin(2x)}{2x} \right) \right)= e^0 = 1,\]

    e in in \spadesuit si è utilizzato (1).







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