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Esercizi misti limiti notevoli 8

Limiti notevoli in funzioni

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Esercizio numero 8 sui limiti notevoli

 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

    \[\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (1-\cos x)^{\tan x};\\ &3. \quad\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}+2}\right)^{\sqrt{x}};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x+4}{2x+3}\right)^{x-3}. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.
 

Richiami teorici.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

  Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1)   \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+ \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}


Svolgimento.

  1. Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (2) si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}} & = \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{3x-1+2-2}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}} = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{-3}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{-3}{3x+2}\right)^{ \frac{x}{2}} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3x+2}{-3}}\right)^{ -\frac{3x+2}{3}}\right)^{ -\frac{3x}{2(3x+2)}} \\ & \overset{\star}{=} \left(\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3x+2}{-3}}\right)^{ -\frac{3x+2}{3}}\right)^{\lim\limits_{x \to +\infty} -\frac{3x}{2(3x+2)}} \\ & \overset{\spadesuit}{=} e^{-\frac{1}{2}}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzata (2).

    2.  

  2. Effettuando la sostituzione t = x -\dfrac{\pi}{2} in virtù del teorema 2 si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1-\cos x)^{\tan x} & = \lim_{t \to 0} \left(1-\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)} \\[10pt] & \overset{\ast}{=} \lim_{t \to 0} \left(1+ \sin t\right)^{-\cot t} \\ &= \lim_{t \to 0} \left(1+ \sin t\right)^{-\frac{\cos t}{\sin t}} \\ & \overset{\star}{=} \left(\lim_{t \to 0}\left(1+ \sin t\right)^{\frac{1}{\sin t}} \right)^{\lim\limits_{t \to 0}-\cos t} \\ & \overset{\spadesuit}{=} e^{-1}, \end{aligned}\]

    dove in\ast abbiamo usato il fatto che

        \[\cos\left(t + \dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t \qquad \text{e} \qquad \tan \left(t + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cot t,\]

    in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzata (2).

    3.  

  3. Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (2) si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}} & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x+2}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}}\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x+2-1+1}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}}\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \left(1 + \dfrac{3}{2x-1}\right)\right)^{\frac{x^2-1}{x}}\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x^2-1}{x}} \cdot \left(1 + \dfrac{3}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}}\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty}\left( \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x^2-1}{x}} \cdot \left(\left(1 + \dfrac{3}{2x-1}\right)^{ \frac{2x-1}{3}}\right)^{\frac{3(x^2-1)}{x(2x-1)}}\right)\\[10pt] & \overset{\star}{=} \left( \lim_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x^2-1}{x}}\right) \cdot \left(\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{3}{2x-1}\right)^{ \frac{2x-1}{3}}\right)^{\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{3(x^2-1)}{x(2x-1)}}\\[10pt] &\overset{\spadesuit}{=} 0 \cdot e^{\frac{3}{2}} = 0, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 ed il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzato (2).

    4.  

  4. Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (2) si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}+2}\right)^{\sqrt{x}} & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3\sqrt{x}-1+2-2}{3\sqrt{x}+2}\right)^{\sqrt{x}} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{-3}{3\sqrt{x}+2}\right)^{\sqrt{x}} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{\frac{3\sqrt{x}+2}{-3}}\right)^{\sqrt{x}} = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\left(1 + \dfrac{1}{\frac{3\sqrt{x}+2}{-3}}\right)^{\frac{3\sqrt{x}+2}{-3}}\right)^{\frac{-3\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+2}} \\ & \overset{\star}{=} \left(\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{\frac{3\sqrt{x}+2}{-3}}\right)^{\frac{3\sqrt{x}+2}{-3}}\right)^{\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{-3\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+2}}\\ &\overset{\spadesuit}{=} e^{-1}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzato (2).

    5.  

  5. Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (2) si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x+4}{2x+3}\right)^{x-3} & = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x+4+3-3}{2x+3}\right)^{x-3} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{2x-3}\right)^{x-3} \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\left(1+\dfrac{1}{2x-3}\right)^{ 2x-3}\right)^{ \frac{x-3}{2x-3}} \\ &\overset{\star}{=} \left(\lim_{x \to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{2x-3}\right)^{ 2x-3}\right)^{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x-3}{2x-3}}\\ &\overset{\spadesuit}{=} e^{\frac{1}{2}}, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 2 e in \spadesuit si è utilizzato (2).

    6.  







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