Esercizi limiti notevoli – 7
Presentiamo il settimo esercizio sui principali limiti notevoli, estratto dalla raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli è costituito da 5 limiti; essi si possono calcolare mediante i principali limiti notevoli: seno, coseno, esponenziale e logaritmo.
Segnaliamo il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 6 e il successivo Esercizio limiti notevoli – 8 .
Esercizio 7 . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:
Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.
Richiami teorici.
Teorema 1.
Siano , sia un punto di accumulazione per . Si assuma che
allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:
Se è un punto di accumulazione per , allora si ha:
ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.
Teorema 2 – Teorema di sostituzione.
Sia e sia . Si assuma che
Sia un intorno di e sia tale che
- se , è continua in ;
- se , allora esiste .
Allora,
Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:
Svolgimento.
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in si è utilizzato il teorema 1 e in si è utilizzata (1)-(3).
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in si è utilizzato il teorema 1 e in si è utilizzata (4).
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in si è utilizzato il teorema 1 e in si è utilizzato (1)-(2)-(4).
- Effettuando la sostituzione in virtù del teorema 2 si ha:
dove in si è utilizzato (4).
- Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere l’espressione in (5) si ha:
dove in si è utilizzato il teorema 2 e in si è utilizzato (5).