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Limiti sinistri e destri

Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Autori e revisori

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Introduzione

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La nozione di limite sinistro e destro è una versione “unilaterale” della più generale definizione di limite. Dato x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, può essere necessario studiare il comportamento di una funzione f quando la variabile si avvicini a x_0 “da sinistra” o “da destra”, ossia quando x si avvicini a x_0 assumendo però solo valori minori o maggiori di x_0. Tale studio conduce alle nozioni di limite sinistro e destro; per presentarla, anteponiamo la seguente definizione di punti di accumulazione sinistri e destri di un sottoinsieme di numeri reali.

 
 

Limiti sinistri e destri

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Definizione 1 (punti di accumulazione sinistri e destri). Dato A \subseteq \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}, esso si dice punto di accumulazione sinistro per A se esso è un punto di accumulazione dell’insieme A \cap (-\infty,x_0), ossia se e solo se per ogni x_1 < x_0 si ha

(1) \begin{equation*} (x_1,x_0) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}

Analogamente x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\} si dice punto di accumulazione destro se esso è un punto di accumulazione dell’insieme A \cap (x_0,+\infty), ovvero se e solo se per ogni x_1>x_0 si ha

(2) \begin{equation*} (x_0, x_1) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}

\[\quad\]

Segue subito dalla definizione che, se x_0 è un punto di accumulazione sinistro o destro per A, allora esso è un punto di accumulazione per A. Viceversa, se x_0 è di accumulazione per A non è detto che esso sia di accumulazione destro e sinistro per A, ma si può mostrare che esso è di accumulazione destro o sinistro per A.

Osservazione 2. Si noti inoltre che la nozione di punto di accumulazione sinistro e destro non differisce da quella di punto di accumulazione nei casi x_0=\pm \infty: +\infty è di accumulazione sinistro per A se e solo se è di accumulazione per A, mentre -\infty è di accumulazione destro per A se e solo se è di accumulazione per A.

Utilizzando questi strumenti, possiamo definire i limiti sinistro e destro di una funzione in un punto.

Definizione 3 (limiti sinistri e destri). Sia f \colon A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione e sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione sinistro per A. Si dice che \ell \in \overline{\mathbb{R}} è il limite sinistro di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno J di \ell, esiste x_1<x_0 tale che

(3) \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in (x_1,x_0) \cap A . \end{equation*}

In tal caso si scrive

(4) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell. \end{equation*}

Analogamente si definisce il limite destro di f per x \to x_0 ed esso si indica con \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x).

\[\quad\]

Osservazione 4. Il limite sinistro della funzione f in x_0 coincide quindi col limite sinistro della restrizione f_{| A \cap (-\infty,x_0)} di f all’insieme A \cap (-\infty,x_0), ossia considerando f definita solo per i numeri reali minori di x_0. Analogamente, il limite destro di f in x_0 coincide col limite della restrizione f_{| A \cap (x_0,+\infty)}, ovvero considerando il comportamento di f solo a destra di x_0.

Osservazione 5. Per l’osservazione 2, i limiti in x_0=-\infty sono soltanto destri, mentre i limiti in x_0=+\infty sono solo sinistri.

Esempio 6. Verifichiamo che

(5) \begin{equation*} \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty. \end{equation*}

\[\quad\]

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Figura 1: in blu, il grafico della funzione f dell’esempio 6. Si vede che, se x si avvicina a 0 da sinistra, allora i valori f(x) diventano infinitamente negativi; viceversa, se x si avvicina a 0 da destra, allora i valori assunti da f diventano infinitamente grandi.

\[\quad\]

Vogliamo quindi calcolare i limiti della funzione f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} definita da

(6) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \end{equation*}

il cui grafico è rappresentato in figura 1. Osserviamo che ogni numero reale è un punto di accumulazione destro e sinistro del dominio \mathbb{R} \setminus \{0\} di f; dunque i limiti richiesti sono significativi e possono essere studiati.

Occorre verificare che il limite sinistro in x_0=0 della funzione f vale -\infty. Scegliamo dunque M<0, come rappresentato a sinistra in figura 2.

\[\quad\]

Figura 2: limite sinistro e destro in 0 della funzione f definita da f(x)=\frac{1}{x}.

\[\quad\]

Dato che

(7) \begin{equation*} f(x) < M \iff \frac{1}{x} < M \iff \frac{1}{M} < x <0, \end{equation*}

scegliendo \delta=|\frac{1}{M}| otteniamo

(8) \begin{equation*} f(x)<M \qquad \forall x \in (-\delta,0), \end{equation*}

cioè quanto volevamo provare. Analogamente, scegliendo M>0 e come illustrato a destra in figura 2, si mostra che

(9) \begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \end{equation*}


 
 

Proprietà dei limiti sinistri e destri

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Per i limiti sinistri e destri valgono tutte le proprietà studiate e che studieremo nel seguito, con le opportune modifiche che il lettore può individuare per esercizio.

L’esistenza dei limiti sinistro e destro in un punto è strettamente correlata all’esistenza del limite. Presentiamo infatti il seguente risultato, che afferma che una funzione ha limite \ell in un punto se e solo se i due limiti destro e sinistro in tale punto esistono e coincidono con \ell.

Proposizione 7 (relazione tra limite sinistro, destro e limite). Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell;

    2.  

  2. \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell.

\[\quad\]

Dimostrazione. Proviamo le due implicazioni, limitandoci a considerare il caso x_0 \in \mathbb{R}, in quanto solo in tale fattispecie hanno senso entrambi i limiti destro e sinistro.

1) → 2) Fissiamo un intorno J di \ell; poiché \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell, esiste \delta>0 di x_0 tale che

(10) \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

Ovviamente vale dunque

(11) \begin{equation*} f(x) \in J \quad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0), \qquad f(x) \in J \quad \forall x \in A \cap (x_0,x_0+\delta) \end{equation*}

e ciò mostra che i limiti sinistro e destro di f in x_0 esistono e sono pari a \ell.

2) → 1) Fissiamo un intorno J di \ell; siccome i limiti sinistro e destro di f in x_0 sono pari a \ell, esistono \delta_-,\delta_+>0 tali che

(12) \begin{equation*} f(x) \in J \quad \forall x \in A \cap (x_0-\delta_-,x_0), \qquad f(x) \in J \quad \forall x \in A \cap (x_0,x_0+\delta_+). \end{equation*}

Scegliendo \delta \coloneqq \min \{\delta_-,\delta_+\}, si ha quindi

(13) \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}, \end{equation*}

che prova che \lim_{x \to x_0} f(x)=\ell.

La proposizione 7 è molto utile per dimostrare l’esistenza o la non esistenza di un limite, come mostrano gli esempi seguenti.

Esempio 8. La funzione f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} definita da

(14) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{equation*}

non ha limite per x \to 0. Infatti, come osservato già nell’esempio 6, si ha

(15) \begin{equation*} \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty. \end{equation*}

Poiché i limiti destro e sinistro in 0 esistono ma sono diversi, per la proposizione 7 il limite di f in 0 non esiste.

Esempio 9. Calcoliamo \lim_{x \to 0} f(x), dove f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è definita da

(16) \begin{equation*} f(x)= \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ 1 & \text{se } x=0 \\ x & \text{se } x >0, \end{cases} \end{equation*}

ed è rappresentata in figura 3.

\[\quad\]

Figura 3: il grafico della funzione f dell’esempio 9. Sia se x si avvicina a 0 da sinistra, sia se x \to 0 da destra, i valori f(x) si avvicinano a 0; dunque il limite di f in 0 vale 0.

\[\quad\]

Abbiamo \lim_{x \to 0^-} f(x)= 0 in quanto f è costantemente nulla per x<0, mentre \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}x=0. Dunque la proposizione 7 implica

(17) \begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x)=0. \end{equation*}


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