Forma indeterminata infinito meno infinito

Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Introduzione

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Il teorema sull’algebra dei limiti infiniti permette di estendere alcuni risultati sull’algebra dei limiti nella retta reale estesa $\overline{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ ; notiamo però che esso non tratta questa domanda.

Domanda. Cosa si può dire su $\displaystyle \lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))$ se $\lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)=-\infty$ ?

In altre parole, non si dà un significato all’“operazione” in $\overline{\mathbb{R}}$

(1) $\begin{equation*} \left [ +\infty - \infty \right ]. \end{equation*}$

Il motivo di tale lacuna è che, in questo caso, il risultato del limite non è univocamente determinato: può cioè assumere valori diversi in base alle specifiche funzioni in esame e può anche non esistere.

In altre parole, non è possibile estendere l’usuale usuale operazione di somma in $\overline{\mathbb{R}}$ includendo anche il caso riportato in (1), in modo che sia coerente col calcolo dei limiti. Tale operazione viene detta forma indeterminata, in quanto appunto il risultato del limite non è determinato a partire dal limite dei fattori in gioco.

In questo articolo esaminiamo tale forma indeterminata, motivando precisamente per quale ragione essa è classificata come tale e fornendo qualche strategia per ottenere il valore del limite.