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Esercizi sulla composizione di funzioni

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Esercizi sulla composizione di funzioni

 
 

Sommario

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Presentiamo alcuni esercizi focalizzati sulla composizione di funzioni, pensati per prendere familiarità e dimestichezza con tale operazione.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Chiara Gambicchia.

 
 

Notazioni

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\mathbb{N}   Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}   Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}   Insieme dei numeri reali;
\ln(x)   Logaritmo naturale (in base e) di x;
f:X\to Y   Funzione f dall’insieme X all’insieme Y;
f\circ g   Funzione f composta con g;
Dom(f)   Dominio della funzione f;
Im(f)   Immagine della funzione f.

 
 

Introduzione

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Il presente file raccoglie una serie di esercizi sulla composizione di funzioni, con l’obiettivo di favorire una comprensione solida di questo concetto, apparentemente semplice ma talvolta insidioso. La difficoltà degli esercizi è varia, ma principalmente medio-bassa, proprio per interiorizzare bene i meccanismi dietro alla composizione di funzioni, senza perderci in virtuosismi matematici, certamente affascinanti, ma alle volte poco istruttivi. Una particolare attenzione è rivolta alla determinazione del dominio e dell’immagine delle composizioni che si richiedono, per sottolineare che a volte la strada che sembra più ovvia e scontata non è affatto corretta!

Speriamo che con questi esercizi arrivi il concetto che una funzione non consiste solo della sua espressione formale f(x)=\dots, ma è intrinsecamente legata al dominio in cui la si definisce, che influisce ovviamente anche sull’immagine che si ottiene.

Il file è organizzato come segue:

\[\quad\]

  • nella sezione 1 viene richiamata brevemente la teoria necessaria per svolgere gli esercizi;

    •  

  • nella sezione 2 si trovano i testi degli esercizi da svolgere e i loro relativi svolgimenti.

Buon lavoro!


 

Richiami di teoria

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Richiamiamo di seguito la definizione di composizione di due funzioni.

Definizione 1.1. Siano E,F,G tre insiemi, f:E\to F e g:F\to G due funzioni. La funzione composta

\[g\circ f: E\to G\]

è definita come

\[(g\circ f)(x):=g\big(f(x)\big)\qquad \forall x\in E.\]

\[\quad\]

In parole povere, per determinare (g\circ f)(x) agiamo così: prima applichiamo la mappa f all’elemento x e successivamente applichiamo la mappa g all’elemento f(x). Schematicamente si ha quindi

\[x\overset{f}{\longmapsto}f(x)\overset{g}{\longmapsto}g\big(f(x)\big).\]

Chiaramente quest’operazione ha senso solo se gli elementi della forma f(x) appartengono al dominio della funzione g; in altre parole se vale l’inclusione

\[{\rm Im}(f)\subseteq {\rm Dom}(g).\]

In tal caso, il dominio della composizione g\circ f coincide con il dominio della funzione di partenza f. Se ciò non dovesse accadere, la composizione è definita solo per gli elementi x nel dominio di f per cui abbia senso applicare g all’elemento f(x). Quindi in generale possiamo definire il dominio della composizione g\circ f come

\[{\rm Dom}(g\circ f):=\{x\in {\rm Dom}(f)\,:\,f(x)\in {\rm Dom}(g)\}.\]

Possiamo dire qualcosa anche sull’immagine della composizione di due funzioni. Chiamiamo per brevità D={\rm Dom}(g\circ f). Se f(D)=Dom(g), allora l’immagine di g\circ f coincide con l’immagine della funzione di arrivo g. Più in generale, l’immagine di g\circ f sarà data dall’immagine della restrizione di g all’insieme f(D). Infatti, per definizione abbiamo quanto segue:

\[\begin{aligned} {\rm Im}(g\circ f)&=\{y\,:\,\exists x\in {\rm Dom}(g\circ f)\text{ tale che }(g\circ f)(x)=y\}=\\ &=\{y\,:\,\exists x\in {\rm Dom}(g\circ f)\text{ tale che }g \big(f(x)\big)=y\}=\\ &=\{y\,:\,\exists z\in f(D)\text{ tale che }g(z)=y\}. \end{aligned}\]

Se vi interessa approfondire questa e tante altre operazioni tra funzioni vi rimandiamo alla pagina di Qui Si Risolve sulla teoria relativa allo studio di funzioni!


 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date le funzioni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definite da

\[f(x)=2x+1,\hspace{1.5cm} g(x)=x^2.\]

Determinare le composizioni f\circ g e g\circ f, specificandone il dominio e l’immagine.

Svolgimento.

Rappresentiamo i grafici delle funzioni fornite dal testo dell’esercizio in figura 1.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: grafici di f (in rosso) e g (in blu) dell’esercizio 1.

\[\quad\]

Il dominio di entrambe le funzioni date dall’esercizio è tutta la retta \mathbb R dei numeri reali, quindi abbiamo sicuramente i seguenti contenimenti:

\[{\rm Im}(f)\subset {\rm Dom}(g)\qquad {\rm Im}(g)\subset {\rm Dom}(f).\]

Pertanto il dominio di entrambe le composizioni corrisponde al dominio della funzione di partenza, cioè \mathbb{R}.

Passiamo ora a determinarne le espressioni formali:

\[\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f\big(g(x)\big)=f(x^2)=2x^2+1,\\ (g\circ f)(x)&=g\big(f(x)\big)=g(2x+1)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1. \end{aligned}\]

Infine determiniamone l’immagine. La funzione f è suriettiva, perciò l’immagine di g\circ f coincide con l’immagine di g, che è

\[{\rm Im}(g\circ f)=[0,+\infty).\]

D’altra parte, visto che l’immagine di g è data dai numeri reali non negativi, l’immagine di f\circ g è l’immagine della restrizione di f a \mathbb{R}^{\geq 0}. In particolare, per x\geq 0 risulta f(x)=2x+1\geq 1, quindi l’immagine di f\circ g è

\[{\rm Im}(f\circ g)=[1,+\infty).\]

Concludiamo quindi che:

\[\boxcolorato{analisi}{(f \circ g)(x) = 2x^2+1 \qquad \text{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \qquad \text{Im}(f \circ g)= [1,+\infty); }\]

\[\boxcolorato{analisi}{(g \circ f)(x) = 4x^2+4x+1 \qquad \text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R} \qquad \text{Im}(g \circ f) = [0,+\infty). }\]

Per completezza, rappresentiamo i grafici delle due funzioni ottenute in figura 2.

\[\quad\]

Figura 2: grafici di f\circ g (a sinistra) e g\circ f (a destra) dell’esercizio 1.

\[\quad\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date le funzioni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:[0,+\infty)\to\mathbb{R} definite da

\[f(x)=3x-2,\hspace{1.5cm} g(x)=\sqrt{x}.\]

Determinare le composizioni f\circ g e g\circ f, specificandone il dominio e l’immagine.

Svolgimento.

Per comodità, rappresentiamo in figura 3 i grafici di f e g.

\[\quad\]

Figura 3: grafici di f (la retta verde) e g (la radice gialla) dell’esercizio 2.

\[\quad\]

Il dominio della funzione f è tutta la retta \mathbb R, quindi abbiamo sicuramente il seguente contenimento:

\[{\rm Im}(g)\subset {\rm Dom}(f).\]

D’altro canto, il dominio della radice coincide con la semiretta reale positiva [0,+\infty), quindi, per determinare il dominio di g\circ f, dobbiamo individuare gli elementi la cui immagine tramite f è positiva:

\[3x-2\geq 0 \iff 3x\geq 2 \iff x\geq \frac{2}{3}.\]

Pertanto i domini delle due composizioni sono i seguenti:

\[\begin{aligned} {\rm Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\qquad {\rm Dom}(g\circ f)=\left[\frac{2}{3},+\infty\right). \end{aligned}\]

Passiamo ora a determinarne le espressioni formali:

\[\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f\big(g(x)\big)=f(\sqrt{x})=3\sqrt{x}-2,\\ (g\circ f)(x)&=g\big(f(x)\big)=g(3x-2)=\sqrt{3x-2}. \end{aligned}\]

Infine determiniamone l’immagine. La funzione f è suriettiva, perciò l’immagine di g\circ f coincide con l’immagine di g, che è

\[{\rm Im}(g\circ f)=[0,+\infty).\]

D’altra parte, visto che l’immagine di g è data dai numeri reali non negativi, l’immagine di f\circ g è l’immagine della restrizione di f a \mathbb{R}^{\geq 0}. In particolare, per x\geq 0 risulta f(x)=3x-2\geq -2, quindi l’immagine di f\circ g è

\[{\rm Im}(f\circ g)=[-2,+\infty).\]

Concludiamo quindi che:

\[\boxcolorato{analisi}{(f \circ g)(x) = 3\sqrt{x}-2 \qquad \text{Dom}(f \circ g) = [0,+\infty) \qquad \text{Im}(f \circ g)= [-2,+\infty); }\]

\[\boxcolorato{analisi}{(g \circ f)(x) = \sqrt{3x-2} \qquad \text{Dom}(g \circ f) = \left[\frac{2}{3},+\infty\right) \qquad \text{Im}(g \circ f) = [0,+\infty). }\]

Rappresentiamo in figura 4 i grafici delle funzioni così ottenute.

\[\quad\]

Figura 4: grafici di f\circ g (a sinistra) e g\circ f (a destra) dell’esercizio 2.

\[\quad\]


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date le funzioni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definite da

\[f(x)=x^2-4,\hspace{1.5cm} g(x)=|x|.\]

Determinare le composizioni f\circ g e g\circ f, specificandone il dominio e l’immagine.

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