Formula di Taylor con resto di Peano

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La formula di Taylor con resto di Peano consente di approssimare una funzione derivabile volte con un polinomio di grado , e di fornire una stima dell’errore, detto appunto resto, commesso con tale approssimazione. Lo sviluppo di una funzione come polinomio ha innumerevoli vantaggi, in quanto i polinomi sono le funzioni più semplici e facilmente calcolabili.

In questo articolo ci focalizziamo sulla formula di Taylor con resto di Peano, che fornisce cioè solo una stima asintotica dell’errore commesso: sviluppando la funzione intorno a un punto fino all’ordine , il resto è trascurabile rispetto a , per . Oltre a fornire l’enunciato preciso del teorema e la sua dimostrazione, esplicitiamo anche una sua conseguenza di carattere pratico che consente di determinare se un punto stazionario è di massimo, di minimo o nessuno dei due, in base alla derivata non nulla di ordine più basso.