Formula di Taylor con resto di Lagrange

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Introduzione

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La formula di Taylor con resto di Lagrange consiste nell’approssimare una funzione derivabile $n+1$ volte, nell’intorno di un punto, con un polinomio di grado $n$ , e calcolare poi l’errore commesso attraverso la derivata di ordine $n+1$ in un punto dell’intervallo in esame. Ripetto alla forma con resto di Peano, dunque, il cosiddetto resto viene calcolato in maniera esatta e non soltanto stimato asintoticamente per $x \to x_0$ . Tale miglioramento avviene però al prezzo di richiedere un ordine di derivabilità in più della funzione che si sta approssimando.

La formula di Taylor con resto di Lagrange è una generalizzazione, a ordini di derivata più alti, del classico teorema di Lagrange: per una funzione derivabile in $(x_0,x)$ e continua in $[x_0,x]$ si ha

$f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)$

per un certo $\xi \in (x_0,x)$ . Sostituendo il termine noto $f(x_0)$ con un polinomio di grado $n$ e il termine lineare con una potenza di ordine $n+1$ , si ottiene l’approssimazione richiesta.

In questo articolo presentiamo il teorema sulla formula di Taylor con resto di Lagrange e una sua dimostrazione completa.