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Esercizi svolti sull’equazione differenziale di Riccati

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali di Riccati.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Le equazioni differenziali di Riccati costituiscono una tipologia di equazioni differenziali ordinarie della forma

\[ y'(x)= a(x) + b(x)y(x) + c(x)y^2(x), \]

con a,b,c funzioni differenziabili con continuità. Per questo tipo di equazioni, si tenta in primo luogo di determinare una soluzione particolare y_1(x), ad esempio polinomiale o suggerita dalla forma dei coefficienti. Una volta nota tale soluzione particolare, si cercano soluzioni della forma

\[ y(x)= y_1(x) + \frac{1}{z(x)} \qquad \text{oppure} \qquad y(x)= y_1(x) + z(x) \]

che implicano che z soddisfi un’equazione differenziale rispettivamente lineare o di Bernoulli, la cui tecnica risolutiva è nota.


 
 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare la soluzione generale dell’equazione di Riccati

\[ y'(x)= 1-x^2-2x^3-x^4+2x^2(1+x)y - x^2y^2, \]

usando il fatto che la funzione definita da y_1(x)=1+x risolve l’equazione.

Svolgimento.

Dalla teoria sulle equazioni di Riccati sappiamo che la soluzione generale può essere ricavata mediante la sostituzione

\[ y(x) = y_1(x) + \frac{1}{u(x)}, \]

dove y_1(x) è una soluzione particolare dell’equazione. In questo caso si ha dunque

\[ y(x)=1+x+\frac{1}{u(x)} \implies y'(x)= 1- \frac{u'(x)}{u^2(x)}. \]

Sostituendo nell’equazione data si ottiene

\[ 1-\frac{u'(x)}{u^2(x)} = 1-x^2-2x^3-x^4+ 2x^2(1+x) \left (1+x+\frac{1}{u(x)}\right ) - x^2 \left (1+x+\frac{1}{u(x)}\right )^2. \]

Svolgendo i calcoli, si ottiene

\[ \begin{aligned} u'(x) &= -x^2u^2(x) - 2x^3u^2(x) - x^4u^2(x)+2x^2u^2(x) \left (1+2x+x^2+\frac{x+1}{u(x)}\right ) + \\ & \qquad -x^2u^2(x)\left (1+x^2+ \frac{1}{u^2(x)} +2x+\frac{2+2x}{u(x)}\right ), \end{aligned} \]

ovvero

\[ \begin{aligned} -u'(x) &= -x^2u^2(x)-2x^3u^2(x)-x^4u^2(x)+2x^2u^2(x)-4x^3u^2(x)+2x^2u(x)(x+1)+ \\ & \qquad +2x^4u^2(x)-x^2u^2(x)-x^4u^2(x)-x^2-2x^3u^2(x)-x^2u(x)(2+2x), \end{aligned} \]

che, con qualche semplificazione, è equivalente a

\[ -u'(x)=2x^3u(x)+2x^2u(x)-x^2-2x^2u(x)-2x^3u(x) \iff u'(x)=x^2. \]

Integrando si ottiene

\[ u(x)= \frac{x^3}{3}+c, \qquad \text{con } c \in \mathbb{R}. \]

Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x)=1+x+\frac{1}{u(x)} = 1+x+\frac{3}{x^3+3c} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt[3]{3c}\},\,\,\,\text{ con } c \in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere l’equazione differenziale lineare

\[ y''(x) + 2x y'(x) + (1+x^2)y(x)=0, \]

trasformandola in un’equazione di Riccati mediante un’opportuna sostituzione.

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