Esercizi svolti sull’equazione differenziale di Eulero

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali di Eulero.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Introduzione

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Le equazioni differenziali di Eulero costituiscono una tipologia di equazione differenziale ordinaria del tipo

$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1x y'(x) + a_0y(x)=0.$

ossia un’equazione lineare a coefficienti non costanti. Questa può essere ricondotta a un’equazione a coefficienti costanti mediante la sostituzione $z(t)=y(e^t)$ e ponendo $x=e^t$ . Infatti, ad esempio nel caso di un’equazione del secondo ordine, ciò implica

$z'(t)=y'(e^t)e^t=x y(x), \qquad z''(t)=y''(e^t)e^{2t}+ y'(e^t)e^t=y''(x)x^2 + y'(x)x,$

che, sostituite nell’equazione iniziale, conducono a

$z''(t) + (a_1 -1)z'(t) + a_0 z(t)=0,$

ossia un’equazione differenziale a coefficienti costanti, che può essere risolta mediante le usuali tecniche.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$\begin{cases} x^2y''(x)+xy'(x)+9y(x)=0 \\ y(1)=7 \\ y'(1)=-2. \end{cases}$

Svolgimento.

L’equazione differenziale è una cosiddetta equazione di Eulero, ossia lineare a coefficienti non costanti, in cui il coefficiente di $y^{(n)}$ è del tipo $x^n$ . Sostituendo $x=e^t$ e ponendo $z(t)=y(e^t)$ si ha $z''(t)=e^ty'(e^t)+ e^{2t}y''(e^t)$ , ossia il sistema diventa diventa

$\begin{cases} z''(t) + 9z(t)=0 \\ z(0)=7 \\ z'(0)=-2 \end{cases} \iff \begin{cases} z(t)=c_1 \cos(3t)+c_2 \sin (3t) \\ z(0)=7 \\ z'(0)=-2 \end{cases}$

con $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ da determinare secondo le condizioni iniziali. Ricordando $z'(t)=-3c_1 \sin(3t) + 3c_2 \cos(3t)$ per determinarle occorre risolvere il sistema