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Esercizi svolti sull’equazione differenziale di Clairaut

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni di Clairaut.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Le equazioni differenziali di Clairaut costituiscono un tipo di equazione differenziale ordinaria della forma

\[ y(x) = x y'(x) + f \left ( y'(x) \right ), \]

dove f è un’opportuna funzione derivabile con continuità. Per risolverla, si possono derivare ambo i membri per ottenere

\[ y'(x) = y'(x) + xy''(x) + f'\left ( y'(x) \right )y''(x) \iff y''(x) \left ( x + f'\left ( y'(x) \right ) \right )= 0 \]

che quindi è risolta se e solo se

\[ y''(x)=0 \,\,\vee \,\, x + f'\left ( y'(x) \right )=0. \]

La prima equazione produce il cosiddetto integrale generale dell’equazione di Clairaut, e ha soluzioni y(x)=c_1x + c_2. Sostituita nell’equazione iniziale, tale espressione di y fornisce la relazione che devono soddisfare i coefficienti c_1,c_2 affinché questa sia realmente una soluzione dell’equazione, ossia c_2=f(c_1); dunque l’integrale generale dell’equazione è

\[ y(x)= c_1 x + f(c_1), \qquad \text{per } c_1 \in \mathbb{R}. \]

La condizione x + f'\left ( y'(x) \right )=0 produce invece il cosiddetto integrale singolare dell’equazione di Clairaut, che viene determinato mediante tecniche varie.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare le soluzioni generali e la soluzione singolare della seguente equazione differenziale di Clairaut:

(1) \begin{equation*} y(x)=xy^\prime(x)+\dfrac{y^\prime(x)}{1-y^\prime(x)} \end{equation*}

Svolgimento.

Si osserva che (1) è un’equazione di Clairaut; dalla teoria di base su questo tipo di equazioni, possiamo derivarne ambo i membri ottenendo

\[\begin{aligned} y^\prime(x) & = y^\prime(x)+xy^{\prime\prime}(x)+\dfrac{y^{\prime\prime}(x)(1-y^{\prime}(x)) + y^{\prime}(x)y^{\prime\prime}(x)}{(1-y^{\prime}(x))^2} = \\ & = y^\prime(x)+xy^{\prime\prime}(x)+\dfrac{y^{\prime\prime}(x)}{(1-y^{\prime}(x))^2}, \end{aligned}\]

che, semplificando e raccogliendo, è equivalente a

\[ y''(x) \left ( x + \dfrac{1}{(1-y^\prime(x))^2} \right )=0 \iff y''(x)= 0 \quad \vee \quad x = \dfrac{-1}{(1-y^\prime(x))^2}. \]

La prima condizione dà luogo alle cosiddette soluzioni generali dell’equazione. La seconda equazione, che può essere soddisfatta solo se x<0, invece produce il cosiddetto integrale singolare.

\[\quad\]

  • Se y''(x)=0 si ottiene y'\equiv c_1 per una costante c_1 \in \mathbb{R}, che a sua volta produce

    \[ y(x)=c_1x+ c_2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \]

    dove anche c_2 \in \mathbb{R}. Affinché tale espressione risolva l’equazione iniziale, sostituendo in (1) otteniamo c_2=\frac{c_1}{1-c_1}, e quindi la soluzione generale

    \[\boxcolorato{analisi}{y(x)=c_1x+ \frac{c_1}{1-c_1} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \,\, \text{con $c_1 \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.}} \]

    •  

  • Per determinare l’integrale singolare, risolviamo la seconda condizione:

    \[ \begin{aligned} x = \dfrac{-1}{(1-y^\prime(x))^2} \iff |1-y'(x)|= \frac{1}{\sqrt{-x}} \iff y'(x) = 1 \pm\frac{1}{\sqrt{-x}}. \end{aligned} \]

    Integrando in x si ottiene

    \[ y(x) = x \mp 2 \sqrt{-x} + c_3 \qquad \forall x <0, \]

    dove c_3 \in \mathbb{R} è una costante arbitraria. Inserendo nell’equazione (1) ricaviamo c_3=-1 e quindi la soluzione singolare

    \[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = x \mp 2 \sqrt{-x} -1 \qquad \forall x <0. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y(x) =x y'(x)+\frac{1}{y'(x)} \]

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