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Esercizi svolti sull’equazione differenziale di Bernoulli

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Esercizi sulle equazioni differenziali di Bernoulli.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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L’equazione differenziale di Bernoulli è un tipo di equazione differenziale ordinaria del primo ordine, della forma

(1) \begin{equation*} y'(x) + p(x)y(x) = q(x) y^\alpha(x), \end{equation*}

dove p(x),q(x) sono dei polinomi e \alpha \in \mathbb{R}. Questa equazione non è lineare, ma si può osservare subito che y(x) \equiv 0 è una sua soluzione. Dunque, assumendo y(x) \neq 0 (grazie al teorema di esistenza e unicità locale), l’equazione può essere ridotta a un’equazione lineare del primo ordine dividendo prima per y^\alpha e poi sostituendo z(x)=y^{1-\alpha}(x):

\[ y'(x)y^{-\alpha}(x) + p(x) y^{1-\alpha}(x) = q(x) \iff z'(x) + p(x) z(x)= q(x), \]

che è appunto un’equazione lineare del primo ordine, di cui è possibile determinare la soluzione con tecniche standard, ottenendo poi la soluzione in termini y ricordando z(x)=y^{1-\alpha}(x).


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\begin{equation*} 3{y}^{\prime}-\frac{y}{1+\cos x}=-\frac{\sin x+1}{{y}^{2}} \end{equation*}

Svolgimento.

Osserviamo che l’equazione è definita per x \neq (2k+1)\pi con k \in \mathbb{Z}. È inoltre facile osservare che ogni soluzione nell’intervallo (-\pi,\pi) si estende con periodicità in \mathbb{R} \setminus \{(2k+1)\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}. Dunque è sufficiente studiare l’equazione nell’intervallo (-\pi,\pi). Abbiamo

\[3{y}^{\prime }-\frac{y}{1+ \cos x}=-\left(\sin x+1\right)\cdot {y}^{-2} \iff 3{y}^{2}{y}^{\prime } - \frac{{y}^{3}}{1 +\cos x } = - \left(\sin x+1\right)\]

Posto {y}^{3}=z, otteniamo 3y^{2}{y}^{\prime } = z^{\prime} e, sostituendo nell’equazione,

\[{z}^{\prime }-\frac{z}{1+\cos x}=-\left(\sin x+1\right),\]

ovvero un’equazione lineare del primo ordine, che risolviamo con la tecnica classica, ossia determinando innanzitutto una primitiva A(x) del coefficiente della z:

\[\begin{aligned} A(x) & = -\int\frac{1}{1+\cos x}dx = \\ &= -\int\frac{1-\cos x}{\mathrm{sen}^2x}dx = \\ &= -\int\frac{1}{\sin ^2x}dx + \int\cos x\left(\sin x \right)^{-2} dx =\\ & = \cot x - \sin x^{-1} = \\ &= \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \\ &= \frac{\cos x -1}{\sin x} = \\ &= -\tan \frac{x}{2}. \end{aligned}\]

Dunque

\[z(x) = e^{\tan \frac{x}{2}} \left( -\int e^{-\tan \frac{x}{2}}\left( \sin x + 1 \right)dx + c \right)\]

con c \in \mathbb{R}. Per calcolare l’integrale indefinito, usiamo la sostituzione t \coloneqq \tan \frac{x}{2}, per la quale si ha

\[ dx = 2\dfrac{1}{1+t^2}dt, \qquad \sin x = \dfrac{2t}{1+t^2} \]

e dunque

\[\begin{aligned} \int {e}^{-t}\left(\frac{2t}{1+{t}^{2}}+1\right)\frac{2}{1+{t}^{2}}dt & = \int \frac{4t{e}^{-t}}{\left(1+{t}^{2}\right)^2} dt + \int \frac{2{e}^{-t}}{1+{t}^{2}} dt = \\ & = \int \frac{4t{e}^{-t}}{\left(1+{t}^{2}\right)^2} dt + 2\left(-\frac{e^{-t}}{1 + t^2} + \int \frac{{e}^{-t}\left(-1\right)\left(2t\right)}{\left(1+{t}^{2}\right)^2} dt\right) = \\ & = \int \frac{4t{e}^{-t}}{\left(1+{t}^{2}\right)^2} dt - \frac{2e^{-t}}{1+{t}^{2}} -4\int \frac{{e}^{-t}t}{\left(1+{t}^{2}\right)^2} dt + c = \\ &= \frac{-2e^{-t}}{\left( 1 + t^2 \right)} + c. \end{aligned}\]

Pertanto

\[\begin{aligned} z(x) & = e^{\tan \frac{x}{2}} \left(\frac{+2e^{-\tan \frac{x}{2}}}{ 1 + \tan ^2\frac{x}{2} } + c \right) = \\ & = 2 \frac{1 + \cos x}{2} + ce^{\tan \frac{x}{2}} = \\ & = 1 + \cos x + ce^{\tan \frac{x}{2}}. \end{aligned}\]

Ritornando a y, si ottiene il risultato

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = \sqrt[3]{\left(1 + \cos x \right) + ce^{\tan \frac{x}{2}}} \qquad \forall x \in (-\pi,\pi)\,\, \text{con } c \in \mathbb{R}. } \]

Fonte: Analisi Matematica – R. Fiorenza


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[\begin{cases} {y}^{\prime}(t)=2t \, y(t) + e^{-t^2} \, \cos(t) \, y^2(t)\\ y(0)=1 \end{cases}\]

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