Esercizi sullo studio qualitativo di un’equazione differenziale

In questo articolo proponiamo degli esercizi sugli studi qualitativi di equazioni differenziali.

Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

In questo articolo presentiamo degli esercizi sullo studio qualitativo di equazioni differenziali. Questa tipologia di esercizi si concentra sul determinare le proprietà locali e globali di una soluzione come esistenza, unicità, intervallo massimale di esistenza, monotonia, segno, limitatezza, eventuali stime. Tale studio si dedica quindi a determinare appunto delle proprietà qualitative, senza determinare esplicitamente una soluzione.

È infatti spesso difficile, se non impossibile, determinare una soluzione esplicita di una generica equazione differenziale, a meno che non rientri in alcuni tipi speciali. Ciononostante, una soluzione esplicita è a volte non strettamente necessaria, mentre invece risulta estremamente importante comprendere alcune delle sue proprietà sopra elencate.

Come il lettore può intuire, gli studi qualitativi vanno quindi affrontati con strumenti vari e adattati al contesto. Questa tipologia di esercizi è quindi estremamente stimolante e costituisce una summa della teoria di Analisi Matematica appresa nel proprio percorso di studi.

L’equazione è del secondo ordine in forma normale. Scrivendola come un sistema del primo ordine di due equazioni in due incognite e applicando il teorema di esistenza e unicità globale, si può vedere che la soluzione esiste globalmente.

Preferiamo però proporre un approccio diverso: scriveremo diversamente l’equazione e la ridurremo a un’equazione scalare del primo ordine equivalente, che tratteremo con i metodi classici.

Osserviamo che, se una soluzione al problema di Cauchy esiste almeno localmente, in un intorno di si ha

e dunque possiamo dividere l’equazione per al fine di ottenerne una più semplice da studiare, che mostreremo poi essere equivalente al problema dato. Abbiamo cioè

Imponendo le condizioni iniziali otteniamo

Reinserendo nell’equazione e usando per giungiamo al problema di Cauchy

(1)

Questa equazione differenziale non è risolubile esplicitamente, ma osserviamo che, in qualunque intervallo di esistenza dell’eventuale soluzione, la derivata soddisfa la condizione e dunque tale problema di Cauchy è equivalente a quello della traccia, poiché la stima su rende lecita l’operazione di dividere (e moltiplicare) per . In poche parole, possiamo limitarci a studiare (1).

Poiché con limitata e globalmente -lipschitziana, ll teorema di esistenza e unicità globale fornisce l’esistenza della soluzione per ogni e fornisce la stima

(2)

dove è un opportuno numero reale non negativo.

Forniamo anche un modo alternativo per l’esistenza della soluzione che ne determina anche ulteriori proprietà e una stima più precisa. Per il teorema di esistenza e unicità locale la soluzione esiste in un intorno di e sia l’intervallo massimale di esistenza della soluzione. Dall’equazione (1) segue

(3)

Dunque è strettamente crescente in e rimane limitata in ogni intervallo limitato di in quanto la stima sulla derivata e la condizione iniziale forniscono

mentre per valgono disuguaglianze opposte.

Dalla monotonia di segue che esiste . Se fosse un numero reale, dalle considerazioni precedenti si avrebbe , ma allora per il teorema di fuga dai compatti sarebbe prolungabile oltre , contro l’ipotesi che fosse l’intervallo massimale di esistenza della soluzione. Dunque

dove l’implicazione è dovuta alle stime su . Analogamente si vede che e .

In definitiva la soluzione al problema di Cauchy esiste per ogni , è strettamente crescente e soddisfa le stime

(4)