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Esercizi sull’equazioni lineari del primo ordine

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine o riconducibili a questa tipologia.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Un’equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale è della forma

\[ y'(x) + a(x)= b(x), \]

dove a,b sono funzioni continue. Questo genere di equazioni si risolve riconducendosi a determinare una primitiva A(x) della funzione a, ovvero tale che A'(x)=a(x). Infatti, se A è una funzione siffatta, moltiplicando ambo i membri dell’equazione per e^{A(x)} si ottiene

\[ e^{A(x)}y'(x) + a(x)e^{A(x)}y(x) = e^{A(x)}b(x). \]

Osserviamo che al primo membro compare proprio la derivata della funzione prodotto e^{A(x)}y(x), dunque possiamo scrivere

\[ \frac{d}{dx}\left (e^{A(x)}y(x) \right ) = e^{A(x)}b(x), \]

che, risolta rispetto a y(x), produce la soluzione generale

\[ y(x) = e^{-A(x)} \left (\int e^{A(x)}b(x) \,dx + c \right ) \qquad \text{con } c \in \mathbb{R}. \]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y''(x)-y'(x)\cot (x)=\dfrac{1}{\sin (x)}. \]

Svolgimento.

Osserviamo che l’equazione è definita solo negli intervalli del tipo \big(k\pi,(k+1)\pi \big) con k \in \mathbb{Z}. Senza perdita di generalità, fissiamo k=0 e risolviamo quindi l’equazione in (0,\pi).

Operiamo la sostituzione z(x) = y'(x), così l’equazione differenziale diviene

\[ z'(x) -z(x) \cot(x) = \frac{1}{\sin(x)} \]

La precedente è un’equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea e possiamo risolverla in due modi sostanzialmente equivalenti.

\[\quad\]

  • Primo metodo. Dividendo l’equazione per \sin x otteniamo

    \[ \frac{z'(x)}{\sin x} - z \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \iff \frac{d}{dx} \left ( \frac{z(x)}{\sin x} \right ) = \frac{1}{\sin^2 x} \iff \frac{z(x)}{\sin x} = - \cot x + c_1, \]

    dove nella prima equivalenza abbiamo riconosciuto al primo membro la derivata del prodotto \frac{z(x)}{\sin x} e c_1 \in \mathbb{R}. Da ciò si ricava

    \[ z(x)= - \cos x + c_1\sin x \qquad \forall x \in (0,\pi). \]

    •  

  • Secondo metodo. Alternativamente possiamo utilizzare la formula risolutiva

    \[ z(x) = e^{A(x)} \Biggl( \int e^{-A(x)} b(x) \, dx + c \Biggr), \]

    dove A(x) è una primitiva del coefficiente di z. Cominciamo calcolando A(x):

    \[ A(x) = \int \cot(x) \, dx = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx = \log \, \lvert \sin(x) \rvert. \]

    Dunque abbiamo

    \[ z(x) = \lvert \sin(x) \rvert \Biggl( \int \frac{1}{\lvert \sin(x) \rvert} \frac{1}{\sin(x)} \, dx +c \Biggr) = \sin(x) \Biggl( \int \frac{1}{\sin(x)^2} \, dx +c \Biggr) = \sin(x) \Bigl( -\cot(x) + c_1 \Bigr), \]

    con c_1 \in \mathbb{R}. Pertanto

    \[ z(x) = -\cos(x) + c_1 \sin(x) \qquad \forall x \in (0,\pi). \]

Ricordando che z(x) = y'(x), possiamo procedere integrando ambo i membi della precedente uguaglianza per ottenere

\[ y(x) = \int z(x) \, dx = \int \Bigl( -\cos(x) + c_1 \sin(x) \Bigr)\, dx = -\sin(x) - c_1 \cos(x) + c_2. \]

L’integrale generale dell’equazione differenziale è quindi

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = -\sin(x) + c_1 \cos(x) + c_2, \qquad \forall x \in (0,\pi) \quad \text{ con } c_1, c_2 \in \mathbb{R}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

\[y''(x)-y'(x)= (x+1)\,e^x.\]

Svolgimento.

L’equazione è del secondo ordine, ma può essere ridotta a un’equazione del primo ordine ponendo z(x)=y'(x):

\[ z'(x)-z(x) = (x+1)e^{x}. \]

Moltiplicata per e^{-x}, l’equazione fornisce

\[ e^{-x}z'(x) - e^{-x}z(x) = x+1 \iff \Big( e^{-x}z(x) \Big)' = x+1 \iff e^{-x}z(x) = \frac{x^2}{2}+ x + c_1, \]

dove c_1 \in \mathbb{R}, ossia la soluzione

(1) \begin{equation*} z(x)=\frac{x^2}{2}e^x + xe^x + c_1 e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Integriamo per parti gli addendi nell’espressione di z:

\[ \begin{gathered} \int\frac{x^2}{2} e^x \,dx = \frac{x^2}{2} e^x - \int x e^x \,dx = \frac{x^2}{2} e^x - xe^x + e^x + c_2; \\ \int xe^x \, dx = xe^x- e^x + c_3; \\ c_1\int e^x\,dx = c_1e^x +c_4. \end{gathered} \]

Dato che z(x)=y'(x), da (1) e dalle primitive appena calcolate si ha

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x)= \frac{x^2}{2} e^x + ce^x +d \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\,\, \text{con } c,d \in \mathbb{R}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

\[ y=-xy'(x)+y'(x) - 2. \]

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