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Sistemi di equazioni differenziali – esercizi svolti

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di equazioni differenziali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Un sistema di equazioni differenziali ordinarie è un insieme di equazioni differenziali che descrivono le proprietà e le interazioni di più funzioni di variabile reale. Ad esempio, un sistema di due equazioni differenziali in due incognite è del tipo

\[ \begin{cases} y'(t)= f(x(t),y(t),t) \\ x'(t)= g(x(t),y(t),t), \end{cases} \]

dove appunto la variabile indipendente è t, le incognite sono x(t),y(t) e le funzioni f,g sono date dal problema considerato. Si può pensare alle funzioni x(t),y(t) come la descrizione dell’ascissa e dell’ordinata di una traiettoria nel piano cartesiano. Al fine di risolvere quindi il sistema, è opportuno assumere che, nell’intorno di un certo punto iniziale (x_0,y_0), la traiettoria corrisponda al grafico di una funzione di una variabile rispetto all’altra. Ad esempio, assumendo che y si possa scrivere in funzione di x, ovvero y(x), si ha

\[ \frac{d}{dt}y(x(t)) = y'(x(t)) x'(t) \iff y'(t)= \frac{dy}{dx} x'(t), \]

che consente di scrivere la derivata della funzione y(x) in base alle derivate nel parametro t delle coordinate x e y. Ciò è spesso sufficiente a determinare la forma della traiettoria e, da ciò, anche le soluzioni x(t),y(t) del sistema di equazioni.


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali valori dei parametri reali a e b, le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali siamo limitate nell’intervallo (0,+\infty).

(1) \begin{equation*} \begin{cases} y(t)=y'(t)+z'(t)+e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}\\ z(t)=y'(t)-z'(t)\\ y(0)=a\\ z(0)=b \end{cases} \end{equation*}

Svolgimento.

Imponendo il cambio di variabile y(t)-z(t)=\omega(t) si ha

(2) \begin{equation*} \begin{cases} \omega(t) +z(t)=\omega'(t)+2z'(t)+e^{-\frac{ t}{\sqrt{2}}}\\ z(t)=\omega'(t)\\ y(0)=a\\ \omega(0)=a-b. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo la seconda nella prima si ottiene

\[\omega''(t)-\frac{\omega(t)}{2}=-\frac{e^{-\frac{ t}{\sqrt{2}}}}{2}.\]

La soluzione dell’equazione differenziale in \omega è

\[\omega(t)=Ae^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}+Be^{\frac{t}{\sqrt{2}}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}} \qquad \text{con } A,B \in \mathbb{R}.\]

Calcoliamo z:

\[z(t)=\frac{d\omega}{dt}(t)=-\frac{A}{\sqrt{2}}e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}+\frac{B}{\sqrt{2}}e^{\frac{t}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}-\frac{1}{4}te^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}.\]

Poichè z deve essere limitata per t \in (0,+\infty), e l’unica funzione illimitata per t\in(0,+\infty) è quella avente coefficiente B, si ha che B=0 e allora

\[z(t)=-\frac{A}{\sqrt{2}}e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{\frac{-t}{\sqrt2}}-\frac{1}{4}te^{-\frac{t}{\sqrt2}}.\]

Poiché y(t)=\omega(t)+z(t) si trova che

\[y(t)=\omega(t)+z(t)=A\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)e^{-\frac{t}{\sqrt2}}+\frac{1}{2\sqrt2}e^{-\frac{t}{\sqrt2}}+\frac{\left(\sqrt2-1\right)}{4}te^{-\frac{t}{\sqrt2}}.\]

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene

\[\begin{cases} a=A\left(1-\dfrac{1}{\sqrt2} \right)+\dfrac{1}{2\sqrt2}\\ b=-\dfrac{A}{\sqrt2}+\dfrac{1}{2\sqrt2}. \end{cases}\]

Dal sistema si trova che

\[\boxcolorato{analisi}{ a=\frac{1}{2\sqrt2}+\left(b-\frac{1}{2\sqrt2} \right)\left(1-\sqrt2 \right). }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Creando un modello di coppia di forze di guerriglia in combattimento, l’evoluzione temporale viene descritta attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali:

\[\begin{cases} y'(t)=-ax(t)y(t) \\ x'(t)=-bx(t)y(t) \\ y(0)=y_0>0 \\ x(0)=x_0 >0, \end{cases}\]

dove x(t) e y(t) sono le forze delle forze opposte al tempo t \geq 0 e a e b sono delle costanti positive.
I termini -ax(t)y(t) e -bx(t)y(t) rappresentano i tassi di perdita in combattimento delle truppe e il modello non prevede rinforzi.

\[\quad\]

  1. Determinata una relazione tra x'(t) e y'(t), utilizzarla per ottenere la soluzione (x(t),y(t)) del sistema di equazioni differenziali di partenza.

    2.  

  2. Quali sono le condizioni in cui le truppe y vinceranno la guerra, cioè eliminano le truppe x? In tal caso quante truppe y sovravvivono?

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