Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi su equazioni differenziali del secondo ordine, lineari e ad coefficienti costanti

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

Home » Esercizi su equazioni differenziali del secondo ordine, lineari e ad coefficienti costanti

 
 

Sommario

Leggi...

Questa dispensa è una raccolta di esercizi riguardanti le equazioni differenziali del secondo ordine, lineari e a coefficienti costanti. I problemi presentati sono tutti completamente risolti.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Notazioni

Leggi...

\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
y'(x)    Derivata della funzione y.


 
 

Introduzione

Leggi...

Questa dispensa è una raccolta di esercizi risolti sulle equazioni differenziali ordinarie e, in particolare, riguardanti la tipologia equazioni differenziali lineari del secondo ordine lineari e a coefficienti costanti. Come riferimento per la parte di teoria, rimandiamo alla dispensa [1]. Abbiamo raccolto nella sezione 2 le tecniche utili nella risoluzione. Gli esercizi sono ordinati in ordine crescente di difficoltà.

 

Richiami teorici

Leggi...

In questa sezione richiamiamo alcune nozioni teoriche che utilizzeremo nel corso delle dispense. Ricordiamo che un’equazione differenziale ordinaria (nel seguito anche EDO) del secondo ordine è un’espressione del tipo

(1) \begin{equation*} F\bigl( x,y(x) ,y'(x),y''(x) \bigr) = 0. \end{equation*}

Si dice che l’equazione differenziale è in forma normale se è possibile esplicitare la derivata di ordine maggiore in funzioni delle altre variabili, ovvero se è possibile riscrivere (1) come

(2) \begin{equation*} y'' = f\bigl( x,y(x),y'(x) \bigr). \end{equation*}

Una EDO viene detta lineare se date y_1(x) \colon I \to \mathbb{R}, \, y_2(x) \colon I \to \mathbb{R}, con I \subseteq \mathbb{R}, con y_1,y_2 soluzioni anche y_1+y_2 \colon I \to \mathbb{R} è ancora una soluzione. Nello specifico, un’equazione lineare ammette una scrittura della forma

(3) \begin{equation*} a(x)y'' + b(x)y' + c(x) y = g(x). \end{equation*}

È possibile corredare un’equazione differenziale di dati iniziali, ovvero del valore della soluzione y e della sua derivata y' in un punto x_0 \in \mathbb{R}, in un’espressione della forma

(4) \begin{equation*} \begin{cases} y''(x) = f\bigl( x,y(x),y'(x) \bigr) \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_0', \end{cases} \end{equation*}

con y_0,y_0' \in \mathbb{R}. Un’espressione siffatta è detta problema di Cauchy e y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_0' vengono dette condizioni iniziali del problema di Cauchy. Una soluzione dell’equazione differenziale (2) (o di (3)), senza alcuna condizione iniziale, viene detta integrale generale dell’equazione differenziale.

La risoluzione di un’equazione differenziale dipende dalla forma esplicita di f. In queste dispense ci focalizzeremo sul caso in cui l’equazione differenziale sia lineare, quindi scrivibile nella forma (3), a coefficienti costanti, ovvero a(x) \equiv a, b(x) \equiv b e c(x) \equiv c dunque siamo interessati ad espressioni del tipo

(5) \begin{equation*} ay'' + by' + c y = g(x). \end{equation*}

Se g(x) = 0, l’equazione viene detta omogenea, altrimenti non omogenea; talvolta il termine g(x) viene detto termine forzante.

Ricordiamo brevemente che, in analogia a quanto visto in [2], l’insieme delle soluzione di una EDO della forma (5) si costituisce di due termini, una soluzione generica dell’equazione omogenea, y_{om} e una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, y_p.

Cominciamo studiando la risoluzione dell’equazione omogenea associata:

(6) \begin{equation*} ay'' + by' + c y = 0. \end{equation*}

Ricordiamo che le soluzioni della precedente equazione costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2. Per determinare le soluzioni della precedente equazione, si procede cercando soluzioni della forma \tilde{y}(x) = e^{\lambda x}, ricavando

\[ a\tilde{y}'' + b \tilde{y}' + c \tilde{y} = 0 \iff ( a\lambda^2 + b \lambda + c) e^{\lambda x } = 0, \]

da cui otteniamo

(7) \begin{equation*} a\lambda^2 + b \lambda + c =0. \end{equation*}

Dunque e^{\lambda x} è soluzione della (6) se \lambda è soluzione di (7). L’equazione (7) viene detta equazione caratteristica associata alla EDO (6) ed il polinomio P(\lambda) = a\lambda^2 + b \lambda + c viene detto polinomio caratteristico associato alla EDO (6).

Essendo un’equazione del secondo ordine, le soluzioni di (7), date dalla formula

\[ \lambda_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \text{ con } \Delta = b^2-4ac, \]

possono essere reali e distinte, reali e coincidenti, complesse e coniugate a seconda del \Delta. Vediamo come procedere nei vari casi.

\bm{\Delta>0} Nel caso di soluzioni reali e distinte, \lambda_1 ,\lambda_2 \in \mathbb{R} con \lambda_1 \neq \lambda_2, le funzioni e^{\lambda_1 x} e e^{\lambda_2 x} sono entrambe soluzioni di (6). Per la linearità dell’equazione, per ogni c_1, c_2 \in \mathbb{R}

(8) \begin{equation*} y_{om}(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}, \end{equation*}

è ancora una soluzione di (6).

\bm{\Delta=0} Nel caso di soluzioni reali e coincidenti, \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda, le funzioni e^{\lambda x} e x e^{\lambda x} sono entrambe soluzioni di (6). Per la linearità dell’equazione, per ogni c_1, c_2 \in \mathbb{R},

(9) \begin{equation*} y_{om}(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x}, \end{equation*}

è ancora una soluzione di (6).

\bm{\Delta<0} Nel caso di soluzioni complesse e coniugate, \lambda_1 = \alpha + i \beta, \lambda_2 = \alpha - i \beta con \alpha = - \frac{a}{2} e \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}, le funzioni

\[\begin{aligned} e^{\lambda_1 x} & = e^{( \alpha + i \beta) x} = e^{\alpha x} e ^{ i \beta x} \\ e^{\lambda_2 x} & = e^{( \alpha - i \beta) x} = e^{\alpha x} e ^{ -i \beta x} \end{aligned}\]

sono soluzioni di (6). Ricordiamo la formula di Eulero,

\[ e^{i t} = \cos(t) + i \sin(t), \]

da cui possiamo scrivere

\[\begin{aligned} \overline{y}_1 & = e^{\lambda_1 x} = e^{\alpha x} \bigl( \cos(\beta x) + i \sin (\beta x) \bigr) \\ \overline{y}_2 & = e^{\lambda_2 x} = e^{\alpha x} \bigl( \cos(\beta x) - i \sin (\beta x) \bigr). \end{aligned}\]

Per la linearità dell’equazione,

\[\begin{aligned} y_1 = \frac{\overline{y}_1 + \overline{y}_2}{2} = e^{\alpha x}\cos( \beta x) \\ y_2 = \frac{\overline{y}_1 - \overline{y}_2}{2i} = e^{\alpha x} \sin(\beta x), \end{aligned}\]

sono soluzioni della EDO e così per ogni c_1, c_2 \in \mathbb{R}

(10) \begin{equation*} y_{om}(x) = c_1e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x), \end{equation*}

è ancora una soluzione della (6).

In tutti i casi, le formule (8), (9) e (10) descrivono uno spazio vettoriale di dimensione 2 perciò, nei rispettivi casi, esse sono tutte e sole le soluzioni di (6).

Passiamo ora alla determinazione di una soluzione particolare della (5).

Presentiamo qui due metodi, il metodo della somiglianza e il metodo di variazione delle costanti. Descriviamoli uno alla volta.

\[\quad\]

  • Per quanto riguarda il primo metodo, applicabile solo in taluni casi, esso si basa sulla ricerca di una soluzione particolare che “somigli” al termine g(x). Nello specifico, tale metodo consiste nello sfruttare la proprietà per cui certe classi di funzioni sono chiuse sotto operazione di derivazione: polinomi, esponenziali e funzioni trigonometriche hanno tutte le derivate “della stessa forma” della funzione di partenza. Perciò, se il termine g(x) ha una struttura del tipo

    \[ g(x) = e^{\alpha x} p(x) \cos(\beta x) \qquad \text{ oppure } g(x) = e^{\alpha x} p(x) \sin(\beta x), \]

    allora si cerca una soluzione della forma

    (11) \begin{equation*} y_p(x) = x^m e^{\alpha x} \bigl[ q_1(x) \cos(\beta x) + q_2(x) \sin(\beta x) \bigr], \end{equation*}

    dove

    – m è la molteplicità di \alpha \pm i \beta come radice dell’equazione caratteristica (7) (m = 0 qualora \alpha \pm i\beta non risolva l’equazione caratteristica)

    – q_1(x) e q_2(x) sono generici polinomi di grado uguale al grado di p(x).

    Imponendo che y_p(x) sia soluzione di (5), si determina l’espressione dei polinomi q_1(x) e q_2(x) e così si ottiene una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

    •  

  • Per quanto riguarda il metodo di variazione delle costanti, esso consiste nella ricerca di una soluzione particolare della EDO a partire dalla soluzione dell’omogenea associata. Nello specifico, se la soluzione dell’omogenea è

    \[ y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x), \]

    con c_1,c_2 costanti e y_1(x),y_2(x) le soluzioni linearmente indipendenti dei vari casi, si cerca una soluzione particolare della forma

    \[ y_p(x)=c_1(x)\cdot y_1(x)+c_2(x)\cdot y_2(x), \]

    dove, questa volta, c_1,c_2 sono funzioni. Derivando la y_p abbiamo

    \[ y_p'=c_1' y_1+c_1 y_1'+c_2' y_2+c_2 y_2'. \]

    Siccome abbiamo a che fare con due funzioni incognite c_1 e c_2, per determinare una sola soluzione y_p, occorreranno due condizioni: una sarà data dal soddisfare l’equazione differenziale, mentre l’altra può essere scelta per semplificare i calcoli. Nel nostro caso imponiamo che

    (12) \begin{equation*} c_1' y_1+c_2' y_2=0. \end{equation*}

    Ne segue

    \[ y_p'=c_1 y_1'+c_2 y_2', \]

    e quindi

    \[ y_p''=c_1' y_1'+c_1 y_1''+c_2' y_2'+c_2 y_2''. \]

    Sostituendo nell’equazione differenziale si ha

    \[ a(c_1' y_1'+c_1 y_1''+c_2' y_2'+c_2 y_2'')+b(c_1 y_1'+c_2 y_2')+c(c_1 y_1+c_2 y_2)=g, \]

    da cui

    \[ c_1(ay_1''+b y_1'+c y_1)+c_2(ay_2''+b y_2'+c y_2)+a(c_1' y_1'+c_2' y_2')=g. \]

    Le equazioni tra parentesi si annullano (essendo y_1,y_2 soluzioni dell’equazione omogenea) e quindi, utilizzando la condizione (12), si ha il sistema

    (13) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle c_1' y_1+c_2' y_2=0\\ \displaystyle c_1' y_1'+c_2' y_2'=\frac{g}{a} \end{cases} \end{equation*}

    da cui, sostituendo X=c_1', Y=c_2' otteniamo il seguente sistema lineare

    \[ \begin{cases} y_1 X+y_2 X=0\\ \displaystyle y_1' X+y_2' Y=\frac{g}{a} \end{cases} \]

    Tale sistema ammette soluzione unica se e solo se il determinante

    \[ W= \det \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{pmatrix} =y_1 y_2'-y_2 y_1', \]

    è diverso da zero. Tale determinante è detto Wronskiano.

    Si può verificare che, a causa dell’indipendenza lineare delle soluzioni dell’equazione omogenea, tale determinante risulta sempre non nullo per la tipologia di equazioni in esame, ossia le EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Ne segue che, per il Teorema di Cramer, il sistema precedente ammette sempre soluzione unica e precisamente

    \[\begin{aligned} X = \frac{1}{W} \det \begin{pmatrix} 0 & y_2 \\ \frac{g}{a} & y_2' \end{pmatrix} = \frac{-y_2 f}{W}, \qquad Y = \frac{1}{W} \begin{pmatrix} y_1 & 0 \\ y_1' & \frac{g}{a} \end{pmatrix} =\frac{y_1 f}{W}, \end{aligned}\]

    da cui

    \[ c_1(x)=\int\frac{-y_2 g}{Wa}\ dx,\qquad \text{ e } \qquad c_2(x)=\int\frac{y_1 g}{Wa}\ dx, \]

    e quindi, in definitiva, la soluzione particolare cercata è

    (14) \begin{equation*} y_p(x) = \Biggl(\int\frac{-y_2 g}{Wa} \, dx \Biggr) y_1(x) + \Biggl(\int\frac{y_1 g}{Wa}\, dx \Biggr) y_2(x). \end{equation*}

    Segnaliamo che talvolta negli esercizi, anziché applicare direttamente l’equazione (14), ripercorreremo gli step e risolveremo il sistema (13).

Una volta determinata y_p(x), l’integrale generale della (5) sarà dato dalla somma di y_{om} e y_p:

(15) \begin{equation*} y(x) = y_{om}(x) + y_p(x). \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

  1. 4y''+24y'+37y=0;
  2. y'' + 4y' + 5y = 0;
  3. y'' + 6y' + 13y = 0;
  4. 4y'' + 24y' + 40y = 0;
  5. y'' - 5y' + 6y = 0;
  6. 2y'' + y' - 3y = 0;
  7. 3y'' - 7y' + 2y = 0;
  8. y'' - 4y' + 4y = 0;
  9. y'' + 6y' + 9y = 0;
  10. 4y'' - 12y' + 9y = 0;
  11. 2y'' + 8y' + 8y = 0.

Svolgimento punto 1.

Le equazioni in questione sono lineari e omogenee. Procediamo risolvendo l’equazione algebrica associata:

\[ 4\lambda^2+24\lambda+37=0 \iff \lambda_{1,2}=-3\pm\frac{i}{2}. \]

Siamo dunque nel caso \Delta < 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=e^{-3x} \Biggl[ c_1\sin \biggl( \frac{x}{2} \biggr) + c_2 \cos \biggl( \frac{x}{2} \biggr) \Biggr], } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 2.

L’equazione algebrica associata è

\[ \lambda^2 + 4\lambda + 5 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda_{1,2} = -2 \pm i. \]

Siamo dunque nel caso \Delta < 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=e^{-2x}\left[c_1\sin(x)+c_2\cos(x)\right], } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 3.

L’equazione algebrica associata è

\[ \lambda^2 + 6\lambda + 13 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda_{1,2} = -3 \pm 2i. \]

Siamo dunque nel caso \Delta < 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=e^{-3x}\left[c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x)\right], } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 4.

L’equazione algebrica associata vale

\[ 4\lambda^2 + 24\lambda + 40 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda^2 + 6\lambda + 10 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda_{1,2} = -3 \pm i. \]

Siamo dunque nel caso \Delta < 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=e^{-3x}\left[c_1\sin(x)+c_2\cos(x)\right], } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 5.

Procediamo risolvendo l’equazione algebrica associata:

\[ \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\lambda-2)(\lambda-3)=0. \]

Le radici dell’equazione caratteristica sono dunque

\[ \lambda_1=2, \qquad \lambda_2=3. \]

Siamo dunque nel caso \Delta > 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 6.

L’equazione algebrica associata è

\[ 2\lambda^2 + \lambda - 3 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = 1^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3)=1+24=25>0. \]

Le radici dell’equazione caratteristica sono quindi

\[ \lambda_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda_1=1,\quad \lambda_2=-\frac{3}{2}. \]

Siamo dunque nel caso \Delta > 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-\frac{3}{2}x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 7.

L’equazione algebrica associata è

\[ 3\lambda^2 - 7\lambda + 2 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = (-7)^2 - 4\cdot 3 \cdot 2 = 49-24=25>0. \]

Le radici dell’equazione caratteristica sono quindi

\[ \lambda_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{25}}{6} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda_1=2,\quad \lambda_2=\frac{1}{3}. \]

Siamo dunque nel caso \Delta > 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=c_1e^{2x}+c_2e^{\frac{x}{3}}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 8.

L’equazione algebrica associata è

\[ \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 16-16=0. \]

L’equazione caratteristica ammette dunque una radice reale doppia:

\[ \lambda_{1,2} = 2. \]

Siamo dunque nel caso \Delta = 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=\left(c_1+c_2x\right)e^{2x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 9.

L’equazione algebrica associata vale

\[ \lambda^2 + 6\lambda + 9 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = 6^2 - 4\cdot 1 \cdot 9 = 36-36=0. \]

L’equazione caratteristica ammette dunque una radice reale doppia:

\[ \lambda_{1,2} = -3. \]

Siamo dunque nel caso \Delta = 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=\left(c_1+c_2x\right)e^{-3x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 10.

Risolviamo l’equazione algebrica associata:

\[ 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = (-12)^2 - 4\cdot 4 \cdot 9 = 144-144=0. \]

L’equazione caratteristica ammette dunque una radice reale doppia:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{3}{2}. \]

Siamo dunque nel caso \Delta = 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=\left(c_1+c_2x\right)e^{\frac{3}{2}x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 

Svolgimento punto 11.

L’equazione algebrica associata è

\[ 2\lambda^2 + 8\lambda + 8 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0. \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = 4^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 16-16=0. \]

L’equazione caratteristica ammette dunque una radice reale doppia:

\[ \lambda_{1,2} = -2. \]

Siamo dunque nel caso \Delta = 0, pertanto la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=\left(c_1+c_2x\right)e^{-2x}, } \]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ \begin{cases} y''+4y'+(4+\omega^2)y=0\\ y(0)=1\\ y'(0)=\omega-2. \end{cases} \]

Svolgimento.

L’equazione differenziale è lineare, a coefficienti costanti e omogenea, procediamo risolvendo l’equazione caratteristica

\[ \lambda^2+4\lambda+4+\omega^2=0\iff (\lambda + 2)^2 + \omega^2 = 0 \iff \lambda_{1,2}=-2\pm \omega i, \]

per cui la generica soluzione dell’equazione differenziale è

\[ y(x)=e^{-2x}\bigl( c_1\sin (\omega x)+c_2\cos (\omega x)\bigr), \qquad \text{ con } c_1,c_2 \in \mathbb{R}. \]

Calcoliamo la derivata di y

\[ y'(x)=e^{-2x}\Bigl[(\omega c_1-2c_2)\cos (\omega x)-(\omega c_2+2c_1)\sin (\omega x) \Bigr], \qquad \text{ con }c_1,c_2 \in \mathbb{R}, \]

così imponendo le condizioni iniziali otteniamo

\[ \begin{cases} 1 = c_1 \\ \omega-2=\omega c_1-2c_2 \end{cases} \iff \begin{cases} c_1 = 1 \\ c_2 = 1. \end{cases} \]

Dunque la soluzione al problema di Cauchy è

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x)=e^{-2x} \bigl( \sin (\omega x)+\cos (\omega x) \bigr). } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y''+y'=1. \]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi