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Esercizi misti sull’equazioni differenziali esatte

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali esatte.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Un’equazione differenziale esatta è un’equazione della forma

\[ y'(x)b(x,y)= -a(x,y), \]

dove a,b sono funzioni derivabili con continuità, che è risolvibile grazie allo studio di una forma differenziale, sotto alcune condizioni per le funzioni a,b. Infatti, se la derivata rispetto a y della funzione a è pari alla derivata rispetto a x della funzione b, ne segue che la forma differenziale a(x,y)dx + b(x,y)dy è chiusa. Se il dominio delle funzioni a,b è semplicemente connesso, ad esempio è \mathbb{R}^2, allora il teorema di Poincaré implica che tale forma differenziale è anche esatta, ossia esiste una funzione U \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, detta potenziale, che soddisfa

\[ \frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=a(x,y), \qquad \frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=b(x,y). \]

Inserendo nell’equazione e ponendo y=y(x), si ottiene che essa è equivalente a

\[ 0 = \frac{\partial U}{\partial x}\big(x,y(x)\big) + \frac{\partial U}{\partial y}\big(x,y(x)\big) y'(x) = \frac{d}{dx} U\big( x,y(x)\big), \]

ossia che la funzione U\big(x,y(x)\big) deve essere costante. Ciò produce una relazione, usualmente implicita, tra y(x) e x, che può condurre anche alla risoluzione esplicita dell’equazione.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare la soluzione (in forma implicita) del seguente problema di Cauchy:

\[\begin{cases} y'(x)=-\dfrac{x+4xy(x)+1}{2x^2+3y^2(x)+3} \\ y(0)=0 . \end{cases}\]

Svolgimento.

Si vede che l’equazione differenziale è esatta, in quanto la derivata rispetto a y del numeratore è pari alla derivata rispetto a x del denominatore:

\[ \frac{d}{dx}(2x^2+3y^2+3)=4x, \qquad \frac{d}{dy}(x+4xy+1)=4x. \]

Ciò implica che la forma differenziale (x+4xy+1)dx + (2x^2+3y^2+3)dy è chiusa e, poiché è di classe C^1(\mathbb{R}^2), che è un aperto semplicemente connesso, è anche esatta per il teorema di Poincaré. In altre parole, esiste una funzione U \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} tale che

\[ \frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=x+4xy+1, \qquad \frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=2x^2+3y^2+3. \]

Individuiamo tale funzione U. Integrando ad esempio in y la seconda relazione Essa deve soddisfare

\[ U(x,y)=2x^2y+ y^3+3y+f(x), \]

dove la funzione f dipende solo dalla variabile x. Differenziando in x e confrontando con \frac{\partial U}{\partial x}(x,y) si ottiene

\[ 4xy+f'(x)=x+4xy+1 \iff f'(x)=x+1 \iff f(x)=\frac{x^2}{2}+x+c, \]

con c \in \mathbb{R} costante arbitraria. Abbiamo quindi ottenuto che una funzione U soddisfacente le nostre richieste sia

\[ U(x,y) = 2x^2y+ y^3+3y + \frac{x^2}{2}+x +c \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. \]

Conoscendo l’espressione di una tale funzione U, possiamo ottenere la relazione richiesta dall’esercizio perché l’equazione è equivalente a

\[ 0=\frac{\partial U}{\partial y}\big(x,y(x)\big)y'(x) + \frac{\partial U}{\partial x}\big(x,y(x)\big) = \frac{d}{dx}U\big(x,y(x)\big), \]

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo usato la regola della catena per funzioni in più variabili. Tale relazione implica che che U\big(x,y(x)\big) è costante al variare di x, ossia che U\big(x,y(x)\big)=U\big(0,y(0)\big)=U(0,0)=c per ogni x e quindi

\[ 2x^2y(x)+ y^3(x)+3y(x) + \frac{x^2}{2}+x + c =c, \]

ossia

\[ \boxcolorato{analisi}{ 2x^2y(x)+ y^3(x)+3y(x) + \frac{x^2}{2}+x =0. } \]

Risolvendo tale espressione rispetto a y(x) si potrebbe teoricamente individuare l’espressione esplicita della soluzione y(x).


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare (in forma implicita) l’integrale generale della seguente equazione differenziale esatta:

\[ \big({x^{2}\sin y-2y\sin x}\big)y'=2x\cos y+y^{2}\cos x. \]

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