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Equazioni differenziali non lineari – Esercizi

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali non lineari.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[\frac{4}{3}\,y'(x) - \frac{16}{9} xy(x) = \frac{e^{x^2}}{\sqrt{y(x)}}.\]

Svolgimento.

Si osserva che l’equazione è definita solo se y(x)>0. Moltiplicando per \frac{9}{8}\sqrt{y} si ottiene l’equazione

\[ \frac{3}{2} \sqrt{y(x)} y'(x) - 2 x y^{\frac{3}{2}}(x) = e^{x^2} \]

Moltiplicando poi per il fattore integrante e^{-x^2}, si ha

\[ \begin{aligned} e^{-x^2}\frac{3}{2} \sqrt{y(x)} y'(x) - 2 xe^{-x^2} y^{\frac{3}{2}}(x) = 1 &\iff \frac{d}{dx} \left ( e^{-x^2} y^{\frac{3}{2}}(x) \right ) = 1 \\ &\iff e^{-x^2} y^{\frac{3}{2}}(x) = x + c, \end{aligned} \]

da cui la soluzione generale

\[ \boxcolorato{analisi}{ y(x) = e^{\frac{2}{3}x^2}\sqrt[3]{(x+c)^2}, \qquad c \in \mathbb{R}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[y'(x) + y(x)\cosh x + \frac{y^{2}(x)e^{\sinh x}}{(1+x^{2})^{2}} = 0.\]

Svolgimento.

L’equazione possiede la soluzione costante y(x) \equiv 0. Supponendo quindi y(x) \neq 0, si può moltiplicare per \frac{e^{-\sinh x}}{y^2(x)} e ottenere

\[ \begin{aligned} -\frac{e^{-\sinh x}y'(x)}{y^2(x)} - \frac{\cosh x e^{-\sinh x}}{y(x)} = \frac{1}{1+x^2} &\iff \frac{d}{dx} \left ( \frac{e^{-\sinh x}}{y(x)} \right ) = \frac{1}{1+x^2} \\ &\iff \frac{e^{-\sinh x}}{y(x)} = c+\arctan x, \end{aligned} \]

con c \in \mathbb{R}. Da ciò risultano le soluzioni

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = \frac{e^{-\sinh x}}{c+ \arctan x}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare (in forma implicita) l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[y''(x) + \big(y'(x)\big)^{3}\cos y(x) = 0.\]

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