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Esercizio su integrali e numeri armonici

Esercizi avanzati analisi

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Se n è un intero positivo, si ponga H_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}. Dimostrare che

\[ \int_0^1\frac{1}{x+1}\,dx\; \int_0^1\frac{x+1}{x^2+x+1}\,dx\;\cdots\; \int_0^1\frac{x^{\,n-2}+\cdots+x+1}{x^{\,n-1}+\cdots+x+1}\,dx \;\ge\; \frac{1}{H_{n+1}}. \]

\[\,\]

\[\,\]

Svolgimento. Si osservi innanzitutto la notazione S_k(x)=1+x+\cdots+x^k per k\ge 0; allora l’(j)-esimo integrando è \dfrac{S_{j-1}(x)}{S_j(x)}, funzione continua e positiva su [0,1] (al punto x=1 il valore limite è \tfrac{j}{j+1}). Si noti che \log è concava su (0,\infty) e che l’integrale su [0,1] coincide con la media rispetto alla misura di probabilità uniforme (poiché la lunghezza dell’intervallo è 1). Applicando Jensen a ciascun j si ottiene

\[ \log\!\left(\int_0^1 \frac{S_{j-1}(x)}{S_j(x)}\,dx\right) \;\ge\; \int_0^1 \log\!\left(\frac{S_{j-1}(x)}{S_j(x)}\right)dx . \]

Sommandone i lati sinistri e destri per j=1,\dots,n-1 si ottiene

\[ \sum_{j=1}^{n-1}\log\!\left(\int_0^1 \frac{S_{j-1}}{S_j}\right) \;\ge\; \int_0^1 \sum_{j=1}^{n-1}\log\!\left(\frac{S_{j-1}}{S_j}\right)dx = \int_0^1 \log\!\left(\prod_{j=1}^{n-1}\frac{S_{j-1}}{S_j}\right)dx . \]

Si osservi ora che il prodotto telescopa:

\[ \prod_{j=1}^{n-1}\frac{S_{j-1}(x)}{S_j(x)}=\frac{S_0(x)}{S_{n-1}(x)}=\frac{1}{S_{n-1}(x)}. \]

Elevando all’esponenziale si ricava quindi

\[ \prod_{j=1}^{n-1}\int_0^1 \frac{S_{j-1}}{S_j} \;\ge\; \exp\!\left(\int_0^1 \log\!\frac{1}{S_{n-1}(x)}\,dx\right) = \exp\!\left(-\int_0^1 \log S_{n-1}(x)\,dx\right). \]

Per stimare il termine a destra, si applica nuovamente Jensen (sempre usando la concavità di \log), ottenendo

\[ \int_0^1 \log S_{n-1}(x)\,dx \;\le\; \log\!\left(\int_0^1 S_{n-1}(x)\,dx\right). \]

Ne consegue

\[ \exp\!\left(-\int_0^1 \log S_{n-1}(x)\,dx\right) \;\ge\; \frac{1}{\displaystyle \int_0^1 S_{n-1}(x)\,dx }. \]

Poiché \displaystyle \int_0^1 S_{n-1}(x)\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 x^k\,dx=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=H_n, si ottiene la stima più forte

\[ \prod_{j=1}^{n-1}\int_0^1 \frac{1+x+\cdots+x^{j-1}}{1+x+\cdots+x^{j}}\,dx \;\ge\; \frac{1}{H_n}. \]

Infine si nota che H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}>H_n, dunque \dfrac{1}{H_n}\ge\dfrac{1}{H_{n+1}} e, in particolare,

\[ \int_0^1\frac{1}{x+1}\,dx\; \int_0^1\frac{x+1}{x^2+x+1}\,dx\;\cdots\; \int_0^1\frac{x^{\,n-2}+\cdots+x+1}{x^{\,n-1}+\cdots+x+1}\,dx \;\ge\; \frac{1}{H_{n+1}}. \quad\Box \]