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Integrale di Frullani

Curiosità e approfondimenti matematici

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Bjørn Malesani.


 
 

Esercizio.
Sia

\[f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}\]

una funzione di classe C^1 nel proprio dominio tale che

\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=c\in\mathbb{R}.\]

Supponiamo che il seguente integrale

\[\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {f(bx)-f(ax)}{x}}\,{\rm {d}}x\]

esista finito, allora vale la seguente formula

\[{\displaystyle {\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {f(bx)-f(ax)}{x}}\,{\rm {d}}x=(f(0)-c))\ln \left({\frac {a}{b}}\right)}}\quad \forall a,b>0.\]

Nota. Gli integrali di questo tipo vengono chiamati integrali di Frullani.

Svolgimento.

La funzione f è di classe C^1 e applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo

(1) \begin{equation*} \int_{a}^{b}f^\prime(xt)\,dt=\dfrac{f(xt)}{x}\bigg \vert^{b}_a=\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}. \end{equation*}

Consideriamo il seguente integrale

\[\int_{0}^{M}\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}\,dx\]

e sfruttando (1), possiamo riscriverlo come segue

\[\int_{0}^{M}\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}\,dx=\int_{0}^{M}\int_{a}^{b}f^\prime(xy)\,dy \,dx.\]

\grave{E} immediato osservare che la funzione f^\prime(xy) è continua nel rettangolo \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,0\leq x \leq M,\, a\leq y \leq b \} pertanto possiamo applicare il teorema di Fubini

\[\int_{0}^{M}\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}\,dx=\int_{0}^{M}\int_{a}^{b}f^\prime(xy)\,dy \,dx=\int_{a}^{b}\int_{0}^{M}f^\prime(xy)\,dx\,dy=I(M).\]

Ora procediamo nel risolvere l’integrale appena ottenuto

\[\begin{aligned} I\left(M\right)&=\int_{a}^{b}\dfrac{f\left(xy\right)}{y}\bigg\vert^{M}_{0}\,dy=\int_{a}^{b}\dfrac{f\left(My\right)-f\left(0\right)}{y}\,dy=\\ &=\int_{a}^{b}\dfrac{f(My)}{y}\,dy-\int_{a}^{b}\dfrac{f(0)}{y}\,dy=\\ &=\int_{a}^{b}\dfrac{f(My)}{y}\,dy-f(0)\ln\left(\dfrac{b}{a}\right) \end{aligned}\]

e passando al limite per M\to +\infty

\[\lim_{M\to +\infty}I\left(M\right)=\lim_{M\to +\infty}\int_{a}^{b}\dfrac{f(My)}{y}-f(0)\ln\left(\dfrac{b}{a}\right).\]

Osserviamo che f è continua in [0,+\infty) con \displaystyle\lim_{\lim_{x\to +\infty}}f(x)=c\in \mathbb{R} quindi il \displaystyle\sup_{[0,+\infty]}\vert f \vert esiste finito e vale quanto segue

\[\left \vert \dfrac{f\left(My\right)}{y}\right \vert <\dfrac{\sup _{[0,+\infty)}\vert f \vert }{y}\quad \forall y \in [a,b].\]

In particolare

\[\int_{a}^{b}\dfrac{\sup_{[0,+\infty)}\vert f\vert }{y}\,dy=\displaystyle\sup_{[0,+\infty)}\vert f \vert\, \ln\left(\dfrac{b}{a}\right)<+\infty\]

pertanto possiamo applicare il teorema della convergenza dominata, ottenendo

\[I=\int_{a}^{b}\lim_{M\to +\infty}\dfrac{f(My)}{y}\,dy-f(0)\ln \left(\dfrac{b}{a}\right)\]

per cui

\[\begin{aligned} I&=\int_{a}^{b}\dfrac{c}{y}\,dy-f(0)\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)=c \ln y \bigg \vert^b_a-f(0)\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)=\\ &=c\ln \left(\dfrac{b}{a}\right)-f(0)\ln \left(\dfrac{b}{a}\right)=\\ &=\left(c-f(0)\right)\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)=\left(f(0)-c\right)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \end{aligned}\]

da cui segue l’asserto.