Esercizi di matematica proposti sui social

e si nota che

Si introduce la funzione , continua su , e si osserva che la quantità precedente è una somma di Riemann per associata alla partizione uniforme di data dai punti , nella quale il punto di campionamento del -esimo intervallo è proprio . Per la definizione di integrale di Riemann e per la continuità di si ottiene

Si calcola l’integrale con il cambio di variabile , che porta a

Si integra per parti scrivendo , e si valuta tra e ottenendo

Ne segue che

Si conclude che il valore del limite non dipende dalla scelta specifica dei punti all’interno di ciascun intervallo, ma solo dal fatto che tali punti realizzano una somma di Riemann della funzione considerata sull’intervallo , e quindi la tesi risulta dimostrata.

e in particolare, per ,

Si osserva ora che , per cui

Si passa ai logaritmi e si applica la formula precedente con :

Si calcola l’integrale:

da cui si conclude

Sostituendo nel limite assegnato si ottiene

Si effettua la sostituzione , da cui e , e si ottiene

Si riscrive allora il numeratore per ricondurre il tutto a integrali elementari; si nota che

A questo punto si ricordano le primitive note

Combinando i risultati si ottiene

Si risostituisce , si nota che e si conclude

Si osserva infine che, usando l’identità per , la primitiva ammette anche la forma

equivalente alla precedente a meno di costante additiva, nel dominio reale considerato

Ponendo si riconosce l’integrale standard

da cui, sostituendo e semplificando con , si ottiene in forma compatta

(1)

dove . Notando infine che è proprio , si legge il risultato anche direttamente in funzione di , ma la scrittura precedente evita righe troppo lunghe e non sfora i margini.

poiché . Si ricorda quindi la primitiva nota e si ritraduce il risultato in funzione di , notando che con si ha e ; ne consegue

da cui

Si noti infine che una derivazione rapida dell’espressione finale restituisce l’integranda, a conferma della correttezza del calcolo.

Sommandone le due espressioni membro a membro si ottiene

da cui segue immediatamente

Per calcolare l’ultimo integrale si applica l’integrazione per parti ripetuta; si noti che una primitiva di è

Valutando ai bordi e (e ricordando che e ) si ottiene

Si conclude quindi che

Si nota che, fissato , la sostituzione (da cui ) manda in e trasforma l’integrale nel seguente:

Si suddivide ora l’integrale secondo i tratti in cui è costante: per si ha su , per cui

Poiché i termini sono non negativi, si può scambiare l’ordine delle somme e, sommando su , si riconosce la serie geometrica per . Ne segue

Rinominando si ottiene

dove si ricorda che per telescopia e che . Si conclude quindi che l’integrale proposto converge e vale

come desiderato.

dove si è moltiplicato numeratore e denominatore per . Sommando quest’ultima espressione alla forma iniziale dell’integrale si nota che il denominatore si semplifica e si ottiene

Si rileva che la funzione è pari, perché ; quindi

Si esegue ora la sostituzione nell’integrale su e si nota che ; ne segue

Sommando le due rappresentazioni dello stesso integrale si ricava

Poiché , risulta per ogni e si può applicare l’identità

da cui discende

Si conclude pertanto che

Notando ora che la somma delle due espressioni di fornisce

si ricorda l’identità valida per , , e si deduce

Per valutare l’ultimo integrale si pone , da cui e ; ne segue

Sostituendo si conclude che

Sostituendo nella relazione si ottiene

così che e . Per regolarità e dominazione uniforme dell’integranda su al variare di , si può derivare sotto segno di integrale:

Decomposizione in fratti semplici. Si cercano tali che

Moltiplicando per si ottiene

Confrontando i coefficienti si ricava il sistema

da cui e , quindi

Segue

Integrazione in di . Allora

Si calcola

Pertanto

Integrazione in . Integrando da ad e usando si ottiene

Si osserva infine la decomposizione elementare

Ponendo e rinominando la variabile d’integrazione, si ottiene

da cui

Perch\’e . Per vale lo sviluppo

Per ogni la convergenza è uniforme su , quindi si può integrare termine a termine su :

Passando al limite (le somme parziali sono crescenti in e dominate) si ottiene

Valore della serie . Si richiama la ben nota identità (Eulero/Weierstrass)

Sviluppando al secondo ordine in :

poiché i termini misti compaiono solo da in poi. Eguagliando i coefficienti di si ricava

Di conseguenza

come si nota espandendo

e

Ne consegue che l’integrando può riscriversi come

Si noti ora che, per , vale ; pertanto si ha e . Ciò permette di eliminare i valori assoluti mantenendo i segni positivi, ottenendo

L’integrale si riduce quindi a una costante e si calcola immediatamente:

Si conclude che il valore richiesto è

la sostituzione lascia invariati gli estremi e fornisce

Si sommano ora le due espressioni dell’integrale e si nota che

Ponendo si calcola

Si nota che , da cui

Segue quindi

e si conclude che

Si somma ora questa identità con quella di partenza, notando che le due forme rappresentano la stessa quantità ma con variabile diversa; rinominando la variabile di integrazione, si ottiene

A questo punto si riscrive l’integrando come

e si nota che la funzione possiede derivata . Si riconosce allora la forma elementare

per cui

Valutando agli estremi si osserva che per risulta e dunque , mentre per risulta e quindi . Di conseguenza

e si conclude che

Si nota che e che ; poiché si semplifica il fattore ottenendo

Indicando con si ricava l’identità

che equivale all’equazione quadratica . Il discriminante vale , per cui

Poiché , dal valore si deduce , mentre da si deduce . Una verifica diretta conferma infatti

Si conclude che l’insieme delle soluzioni è

Ne segue

Per valutare si nota l’identità

che suggerisce la sostituzione con ; usando e dividendo per si ottiene

Si semplifica l’espressione al denominatore osservando che , da cui

Per simmetria si passa a e poi si pone , ottenendo

Si riconosce l’integrale ellittico completo di prima specie, definito per da

e quindi, con , si conclude

Pertanto il valore dell’integrale proposto è , dove indica l’integrale ellittico completo di prima specie.

Si divide numeratore e denominatore per e si ottiene

si nota che il numeratore tende a mentre il denominatore tende a , per cui si conclude

Per completezza si osserva anche che , e quindi la parte frazionaria tende a .

Si nota quindi che la sostituzione con produce di nuovo un integrale dello stesso tipo,

Sommandone i due esiti si ricava

dove si è usata la fattorizzazione . Si introduce ora , così che e , ottenendo

Si riconosce l’integrale di arctan e si calcola

Si conclude quindi che

Per comodità si rinomina con e si somma membro a membro l’ultima espressione con l’integrale di partenza, notando che per ogni vale l’identità ben nota , la quale è applicabile poiché su tutto l’intervallo. Ne segue

Si conclude pertanto che il valore cercato è

Poiché , e sono diversi da zero, si può moltiplicare entrambi i membri per ottenendo

Sviluppando il quadrato del binomio si ha

da cui si ricava

A questo punto si introducono i rapporti

Si nota che il loro prodotto vale

mentre la loro somma si può esprimere come

dove nell’ultimo passaggio si è utilizzata la relazione trovata in precedenza. Si considera ora l’identità algebrica per la somma dei cubi di due numeri qualunque e ,

Applicando questa formula ai rapporti definiti sopra e sostituendo i valori di e si ottiene

Dal momento che coincide con

si deduce che

Per le condizioni richieste dal testo tale quantità deve anche essere uguale a ; si ha quindi

da cui, dividendo per , segue

Poiché si sta considerando la radice quadrata reale principale, si conclude che

così che la condizione diventa . In termini di l’uguaglianza da verificare assume la forma

Per si ricordano le note espansioni in serie di potenze del logaritmo naturale:

valide perché e per . Sostituendo queste espressioni nell’uguaglianza precedente si ottiene

cioè

Si somma ai due membri e si ottiene

Si osserva ora che la proprietà del logaritmo rispetto al prodotto consente di scrivere

L’uguaglianza precedente diventa quindi

da cui, applicando la funzione esponenziale, si ricava

Per eliminare la radice quadrata si eleva al quadrato ambo i membri, ottenendo

Si sviluppa il prodotto

L’equazione da risolvere diventa quindi

che semplificata fornisce

Si raccoglie a fattor comune e si ottiene

Da qui si ricavano due possibilità:

Si nota che corrisponde a non definito, quindi tale valore non è accettabile. Si considera allora l’equazione quadratica

che ha soluzioni

Si osserva che

mentre la condizione richiede che appartenga all’intervallo . Pertanto questa soluzione non è ammessa. La soluzione accettabile è invece

che appartiene a e soddisfa la condizione . Poiché , si ottiene

Si razionalizza il denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per , e si ottiene

Si conclude quindi che, tra i numeri reali con , l’unico valore per cui la somma della serie a segni alterni è esattamente metà della somma della serie con tutti i segni positivi è

Si effettua il cambio di indice , da cui e, al variare di da a , l’indice varia ancora da a ; la somma si può quindi riscrivere come

Introducendo i numeri armonici si ottiene

Il limite da valutare diventa quindi

Si nota che questo limite è della forma ; conviene allora considerare il logaritmo naturale di e studiare

Per procedere in modo efficace si introducono le notazioni

così che .

A questo punto si richiamano le note espansioni asintotiche

dove indica la costante di Eulero–Mascheroni. Utilizzando tali formule si ottiene

mentre

Sottraendo membro a membro si arriva a

da cui si deduce

Si osserva ora che e si pone

Poiché e , risulta

Si può quindi applicare lo sviluppo del logaritmo , da cui

Sostituendo nell’espressione di si ottiene

Il primo termine tende a per quanto visto sopra. Per il secondo termine si osserva che , dunque e, poiché , si ha

In questo modo si conclude che

Elevando alla base si ottiene finalmente

dove è la costante di Eulero–Mascheroni.

Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore:

Ponendo (quindi e ) si ottiene l’identità

(2)

Nel primo limite scindiamo:

Usando i limiti notevoli

si ottiene

Per quanto riguarda il secondo limite, si ha ovviamente

Passando al limite nell’identità (2) troviamo

cioè

non avrebbe senso. Lo verifichiamo nell’appendice seguente.

Poiché è pari, basta studiare il limite da destra .

  Limitatezza. Per abbiamo

Per vale ; dunque

e di conseguenza

Inoltre , quindi ; dividendo per otteniamo

Monotonia. Vogliamo mostrare che . Per si ha

Poniamo

così che

Per concludere basta provare che . Calcoliamo

Per si ha e , dunque , cioè è crescente. Poiché , otteniamo e quindi per : la funzione è crescente a destra di .

Essendo crescente e inferiormente limitata (da ), il limite da destra esiste ed è finito; per la parità di esiste finito anche il limite bilatero .

Conclusione. L’appendice giustifica la correttezza del procedimento da cui abbiamo ricavato .

Si calcola prima il termine più interno, notando che

quindi

e di conseguenza

L’integrale iniziale può allora essere scritto come

Si procede alla semplificazione delle due frazioni al numeratore e al denominatore:

Pertanto l’integrando diventa

e l’integrale da calcolare si riduce a

Si nota che la derivata del denominatore è

mentre il numeratore è . Si esprime allora il numeratore come combinazione della derivata del denominatore e di un termine costante:

Da qui si ottiene

così l’integrale si separa in

Per il primo integrale si riconosce una derivata di logaritmo:

quindi

Per il secondo integrale si procede con il completamento del quadrato nel denominatore:

Ne segue

per cui

Si introduce la sostituzione

e l’integrale diventa

Quindi

Mettendo insieme i risultati, si ottiene una primitiva della funzione integranda:

e l’integrale definito richiesto vale

Si calcolano i valori:

da cui

Pertanto

Usando la formula per la differenza degli arctangenti si nota infine che

per cui il valore dell’integrale si può anche scrivere come

così che l’integrale richiesto sarà . Si osserva innanzitutto che, per ogni , l’integrale che definisce converge: vicino a si ha , quindi l’integrando è limitato, mentre per il fattore esponenziale garantisce la convergenza.

Si vuole ora derivare rispetto al parametro . Si introduce

che per ogni è derivabile rispetto ad con

Per giustificare il passaggio della derivata sotto il segno di integrale si osserva che, fissato un valore , si può scegliere un intervallo chiuso con tale che . Per ogni in tale intervallo e per ogni vale

La funzione è integrabile su . Il teorema della convergenza dominata, applicato alle differenze quozienti che definiscono la derivata di , permette quindi di scambiare derivata e integrale; di conseguenza, per ogni si ottiene

Per il calcolo di questo nuovo integrale si nota che coincide con la parte immaginaria di . Si ha quindi

Poiché , la parte reale di è negativa e il limite all’infinito dell’esponenziale è nullo; si ottiene

Ne segue

Sviluppando

si nota che la parte immaginaria è pari a ; quindi

Per ottenere si integra rispetto ad :

Ponendo , , si scrive

dove è una costante reale da determinare.

Per determinare si studia il limite di per a partire dalla definizione tramite integrale. Per ogni si ha

Inoltre, per e per ogni si osserva che

dove si è usato che . La funzione è integrabile su ; quindi, applicando il teorema della convergenza dominata al limite per , si ottiene

D’altra parte, passando al limite nella forma esplicita trovata per , si ha

Il confronto dei due limiti fornisce . Di conseguenza, per ogni ,

Usando l’identità per , si nota che la precedente espressione si può riscrivere come

Infine si pone e si ottiene il valore dell’integrale richiesto:

Da questa identità si ricava

Riscrivendo l’ultimo integrale come somma, si ottiene

A questo punto si introduce l’integrale

e si nota che sulla stessa funzione si può utilizzare la proprietà

Applicando tale proprietà con e si ottiene

Si sfruttano ora le identità

così che

Pertanto

Poiché , si arriva alla forma

Si sostituisce ora questa espressione di nella formula iniziale per , osservando che

Si ottiene quindi

da cui segue

Raccogliendo in un unico integrale, si osserva che

per cui

Per proseguire, si introduce l’integrale

Si effettua la sostituzione ; allora e, poiché , si ha

Quando varia da a , la variabile varia da a . Inoltre . Quindi

Si riconosce ora che l’ultimo integrale fornisce una rappresentazione della costante di Catalan , che può infatti essere definita da

Ne segue che e, sostituendo nel valore di , si ottiene

In conclusione si nota che il valore dell’integrale proposto è

dove denota la costante di Catalan.

Notiamo ora che, per definizione, la funzione Beta è data da

Confrontando questa definizione con l’integrale ottenuto si riconosce che e , cioè e . Si conclude quindi che

Ricordando la relazione tra funzione Beta e funzione Gamma,

si ottiene

Poiché vale , il risultato si può riscrivere come

Se si desidera una forma ancora più esplicita, si ricorda la formula di riflessione di Eulero ; applicandola con si ottiene , da cui segue

Qualunque delle ultime espressioni rappresenta il valore esatto dell’integrale richiesto; numericamente si ha

così che si ha . Quando si ottiene , mentre quando si ha . L’integrale diventa allora

A questo punto utilizziamo le formule di addizione per il seno. Per il primo seno al numeratore scriviamo

Per il secondo seno osserviamo che

poiché il seno di un angolo aumentato di coincide con il coseno dell’angolo di partenza.

Sostituendo queste espressioni nell’integrale si ottiene

Ora separiamo i due termini al numeratore:

Consideriamo prima il fattore

Chiamiamo

Osserviamo che

quindi la funzione risulta dispari. Sapendo che l’integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all’origine è nullo, si ha

Il primo termine dell’espressione di si annulla dunque completamente.

Rimane solo il secondo termine

Indichiamo con

Si nota che

per cui è una funzione pari. Per una funzione pari vale la relazione

e applicandola con si ottiene

Di conseguenza

Per calcolare quest’ultimo integrale osserviamo che, ponendo , si ha e quindi . Quando si ottiene , mentre quando si ha . L’integrale diventa allora

Si ricorda che una primitiva di è , per cui

Da qui segue

Sostituendo questo risultato nell’espressione di si ha

Si conclude quindi che il valore dell’integrale proposto è

Per rendere le espressioni più simmetriche notiamo che

e in modo analogo

Sostituendo queste uguaglianze nel sistema si ottiene

Calcoliamo ora i reciproci dei quadrati appena ottenuti. Si ha

e in modo simile

Il sistema diventa quindi

A questo punto introduciamo il prodotto e indichiamo con

la somma dei quadrati. Con queste notazioni le due equazioni precedenti si riscrivono come

Dalla prima equazione si ricava

mentre dalla seconda si ottiene

Poich\’e entrambe esprimono lo stesso numero , possiamo uguagliarle e scrivere

Sviluppiamo ora i quadrati. Si ha

Portando tutti i termini da un solo lato dell’uguaglianza otteniamo

Il prodotto deve quindi soddisfare l’equazione di secondo grado

Risolvendo questa equazione, si ha

Concludiamo perciò che il prodotto può assumere soltanto i due valori

Osserviamo inoltre che questi due numeri sono uno il reciproco dell’altro, infatti

Di conseguenza, se allora

mentre se si ha

In ogni caso l’insieme formato da e da coincide con l’insieme

A questo punto possiamo passare all’espressione richiesta. Indichiamo con

il numero che vogliamo determinare. Dalle considerazioni precedenti segue che, qualunque sia la scelta del valore di tra i due possibili, l’espressione rimane la stessa, poich\’e viene semplicemente scambiato con il suo reciproco. Possiamo quindi scrivere senza ambiguità

Osserviamo infine che, poich\’e i due termini e sono coniugati e il loro prodotto è uguale a , lo sviluppo binomiale di ciascuna potenza contiene termini con radici quadratiche che si semplificano a coppie nella somma, per cui risulta essere un numero intero. Se si desidera ottenere il valore numerico esplicito si può calcolare tale somma con una calcolatrice, ma già l’espressione

fornisce una forma esatta e completa della soluzione del problema.

e il denominatore con

Il limite da calcolare è quindi

Osserviamo che il comportamento di numeratore e denominatore è legato alla funzione

che tende a zero per . Si studia quindi ogni pezzo confrontandolo con .

Consideriamo per prima cosa

Poniamo

così che . Notiamo che , perciò

Dai limiti fondamentali

segue

Sostituendo si ottiene

cioè

Studiamo ora il logaritmo di . Si ha

Poiché , risulta . D’altra parte

per cui

Il termine tende a zero, quindi esiste una funzione tale che

In particolare

Passiamo al fattore . Indichiamo

Si osserva che

perciò si comporta come e tende a zero. Dal limite fondamentale

si ottiene

quindi esiste una funzione tale che

Ne segue

Poiché , risulta , quindi

Studiamo ora il prodotto . Si osserva che

Abbiamo visto che il primo fattore tende a e il secondo tende a ; perciò

Essendo , per il limite fondamentale

e sapendo che , si ottiene

Moltiplicando i limiti si ha

Passiamo ora al termine

Indichiamo

Dividendo numeratore e denominatore per si ottiene

Da qui segue

perché sia il numeratore sia il denominatore tendono a . In particolare .

Dal limite fondamentale

si ricava

e quindi

Studiamo ora il fattore . Per si ha

e poiché , vale

Per sufficientemente grande si ha , quindi e, per grande,

Applicando il logaritmo si ottiene

Da queste disuguaglianze segue

Scrivendo

si ha

e poiché , si ottiene

A questo punto si può confrontare con . Infatti

Il primo fattore tende a e anche il secondo tende a , quindi

Studiamo ora il denominatore

Poniamo

Allora per . Dal limite fondamentale

si ricava

Consideriamo il prodotto

Il primo fattore tende a e anche il secondo tende a , quindi

Di conseguenza

Per quanto riguarda il fattore logaritmico del denominatore, si ha

quindi

Poiché , si ottiene

Possiamo ora confrontare il denominatore con . Si ha

Il primo fattore tende a e il secondo tende a , per cui

Mettiamo infine insieme tutti i risultati. Il numeratore può essere scritto come

perciò

Passando al limite si ottiene

Di conseguenza il limite richiesto è

mentre al denominatore si ha ugualmente . Il limite presenta quindi la forma indeterminata e richiede una trasformazione algebrica.

Per semplificare il numeratore, notano che si può aggiungere e togliere , riscrivendo

In questo modo il limite diventa

Osservano ora che il limite della somma, quando esiste, è uguale alla somma dei limiti, per cui si può studiare separatamente i due termini

Per il primo termine, notano che si può razionalizzare il numeratore moltiplicando e dividendo per il coniugato . Si ottiene

Semplificando al numeratore e al denominatore, si ha

A questo punto il limite del primo termine risulta immediato, perché nel denominatore non compaiono più zeri al tendere di a zero. Infatti

Si passa ora al secondo termine

Per studiarlo, osservano che si può usare l’identità notevole

Applicando questa identità con e , si ottiene

Poiché , al primo membro si ha

Quindi si ricava

Da questa uguaglianza ottengono

Sostituendo nell’espressione del secondo termine, si ha

Anche in questo caso il limite è ora facile da calcolare, perché il denominatore non si annulla per che tende a zero. Infatti

Ritornando ora al limite iniziale, si mettono insieme i due risultati ottenuti. Si ha

Eseguendo la somma delle due frazioni, si ottiene

Concludiamo quindi che il valore del limite richiesto è

Se la persona che parla è un cavaliere, allora dice il vero. Di conseguenza, nel caso di un cavaliere la frase deve essere vera e quindi i due vicini devono appartenere alla categoria opposta, cioè entrambi furfanti. In simboli, intorno a un cavaliere si ottiene lo schema

Se invece la persona che parla è un furfante, la stessa frase deve essere falsa. Essendo falsa l’affermazione “nessuna delle due persone accanto a me è della mia stessa categoria”, si deduce che almeno uno dei due vicini è della stessa categoria del furfante. In altre parole, per ogni furfante almeno uno dei due posti accanto a lui è occupato da un altro furfante.

Da queste osservazioni traggono due conseguenze importanti. In primo luogo, due cavalieri non possono sedere accanto, perché ogni cavaliere dovrebbe avere due furfanti come vicini. In secondo luogo, tra due cavalieri non può esserci un solo furfante: infatti una configurazione del tipo

non è possibile, perché in questo schema il furfante avrebbe ai due lati due cavalieri, quindi nessuno dei vicini sarebbe della sua stessa categoria; la sua frase risulterebbe vera, mentre un furfante deve mentire. Concludono quindi che tra due cavalieri consecutivi, lungo il giro del tavolo, devono esserci almeno due furfanti.

A questo punto considerano un tavolo qualsiasi con posti e suppongono che a quel tavolo siedano cavalieri. Ordinano mentalmente i cavalieri nel verso del giro del tavolo; tra ogni coppia di cavalieri consecutivi compaiono almeno due furfanti. Per ogni cavaliere si devono quindi contare almeno due furfanti dopo di lui, prima di incontrare il cavaliere successivo. Nel complesso il numero totale dei posti al tavolo deve essere almeno

da cui ricavano

Questa disuguaglianza mostra che, qualunque sia la disposizione, il numero di cavalieri presenti a un tavolo con posti non può superare la terza parte del numero dei posti.

Applicano ora questo risultato ai diversi tipi di tavolo presenti al banchetto. Per un tavolo da 3 posti si ha

quindi a quel tavolo può sedere al massimo un cavaliere. Per un tavolo da 4 posti risulta

quindi anche in questo caso non può superare 1. Lo stesso vale per un tavolo da 5 posti, poiché

e dunque ancora una volta si ottiene . Per un tavolo da 6 posti, invece,

per cui a ogni tavolo da 6 posti possono sedere al massimo due cavalieri.

Per essere sicuri che questi limiti siano effettivamente raggiungibili, costruiscono degli esempi. Tutte le configurazioni che seguono sono da leggere come sedute intorno al tavolo, in senso circolare.

Per un tavolo da 3 posti considerano la disposizione

Il cavaliere ha due furfanti accanto, quindi dice il vero; ciascun furfante ha almeno un vicino furfante, quindi la propria frase è falsa. Risulta quindi possibile avere un cavaliere a un tavolo da 3.

Per un tavolo da 4 posti scelgono la disposizione

Il cavaliere ha due furfanti accanto e dice il vero, mentre ogni furfante ha almeno un vicino furfante (per esempio il primo furfante ha accanto il cavaliere e un furfante), perciò mente. Anche in questo caso è possibile avere un cavaliere.

Per un tavolo da 5 posti considerano

Come prima, il cavaliere ha due furfanti accanto e dice il vero; ogni furfante ha almeno un vicino furfante e quindi mente. Si ottiene così un esempio con un cavaliere a un tavolo da 5 posti.

Infine, per un tavolo da 6 posti costruiscono la configurazione

Si controlla facilmente che i due cavalieri hanno entrambi due furfanti come vicini, per cui dicono il vero, mentre ogni furfante ha almeno un vicino furfante e quindi mente. In questo modo mostrano che è effettivamente possibile avere due cavalieri a un tavolo da 6.

Concludono quindi che i massimi numeri di cavalieri per ciascun tipo di tavolo sono i seguenti: un cavaliere per ogni tavolo da 3 posti, da 4 posti e da 5 posti, e due cavalieri per ogni tavolo da 6 posti.

A questo punto calcolano il numero massimo totale di cavalieri presenti al banchetto. Poiché ci sono 10 tavoli da 3 posti, 7 tavoli da 4 posti, 8 tavoli da 5 posti e 13 tavoli da 6 posti, ottengono

Eseguendo i calcoli si ha

e quindi

Concludono che il numero massimo possibile di cavalieri presenti al banchetto è pari a 51.

così che il limite richiesto diventa

Per studiare il numeratore introduciamo il logaritmo della base. Scriviamo

e osservando che

in quanto almeno i primi fattori sono minori o uguali a . Da questa stima si deduce che

Introduciamo allora

così che e

Applicando ora lo sviluppo di Taylor della funzione logaritmo in un intorno di ,

otteneniamo

Scriviamo quindi

dove

poiché il numeratore tende a zero mentre il denominatore tende a . Passiamo ora allo studio dell’esponente . Riscriviamo

Indicando con

notiamo che è limitata, quindi . Sviluppiamo allora il cubo

e otteniamo

Ne consegue

Introduciamo

osserviamo che ogni termine di tende a zero e quindi , e scriviamo

Per trattare utilizziamo lo sviluppo di Taylor della funzione

nell’intorno di ,

Applicando questo sviluppo a otteniamo

dove . Pertanto

A questo punto consideriamo

e sostituendo le espressioni trovate:

Definendo

si ha e quindi

Poiché , si ha in particolare .

Usiamo ora lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale,

Applicando questo sviluppo a otteniamo

Di conseguenza

Introducendo una nuova successione che tende a zero, possiamo scrivere in forma compatta

con .

Passiamo ora al denominatore. Definiamo

Per ogni vale

Indicando con

osserviamo che e scriviamo

Grazie allo sviluppo

si ha , quindi

Ne deduciamo che esiste una successione con tale che

Di conseguenza

dove .

Introduciamo ora

e osserviamo che

Poiché è limitata, il termine tende a zero; esiste quindi una successione con tale che

Sfruttando l’espressione di trovata sopra, scriviamo

Usando lo sviluppo

otteniamo

Si ha dunque

dove è una successione tale che . In particolare .

Calcoliamo quindi il quadrato,

dove e, più precisamente, .

A questo punto utilizziamo gli sviluppi di Taylor

Applicando il primo a otteniamo

Esiste dunque una successione con tale che

Applicando il secondo sviluppo a si ha

Sottraendo membro a membro si ottiene

Poiché e sono molto più piccoli di , possiamo scrivere

dove .

Per ottenere la radice usiamo lo sviluppo, valido per ,

Applicandolo a con coefficiente troviamo

dove .

Resta da considerare il fattore logaritmico. Scriviamo

Poiché , introduciamo una nuova successione con tale che

Combinando i risultati otteniamo per il denominatore

dove tende ancora a zero.

Abbiamo quindi mostrato che

con e . Di conseguenza

Poiché il rapporto tra due successioni che tendono a tende ancora a , si ha

Segue quindi

In conclusione si ottiene il valore del limite richiesto:

Per trasformare questa espressione in una forma piú semplice deciamo di usare la formula della tangente della differenza fra due angoli

Notando allora che, se si pone

si ha

Applicando la formula precedente otteniamo

Osserviamo che gli angoli e sono entrambi compresi tra e , perché e sono numeri reali non negativi. Di conseguenza la loro differenza è un angolo positivo minore di . L’angolo compreso tra e che ha per tangente il numero è proprio

Pertanto si ottiene

Si è quindi riusciti a riscrivere il termine generale della serie nella forma

A questo punto considerano la somma parziale di ordine ,

e sostituiamo l’espressione trovata per . Si ha

Osserviamo che in questa somma molte quantità si semplificano: compare una volta con segno positivo e una volta con segno negativo, lo stesso accade per , per e così via fino a . Restano soltanto il primo termine negativo, , e l’ultimo termine positivo, . Di conseguenza si ottiene la forma telescopica

Ricordiamo che , quindi

Per trovare la somma della serie iniziale devono ora considerare il limite delle somme parziali quando tende a infinito. Si ha

Ricordiamo infine che, per valori reali positivi sempre piú grandi, la funzione arcotangente si avvicina sempre di piú all’angolo . In simboli

Sostituendo si ottiene

Concludiamo quindi che la serie proposta converge e che la sua somma vale

In questo modo il nostro integrale assume la forma

A questo punto conviene provare a scomporre la frazione in una somma di due termini più semplici. Cerchiamo costanti reali e tali che

Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene l’identità

Sviluppando il membro destro si ha

Raggruppiamo ora i termini che contengono il fattore e quelli che non lo contengono. Si ottiene

Affinché questa uguaglianza sia verificata per ogni , i coefficienti che moltiplicano i termini , e devono coincidere sui due membri. Pertanto si richiedono le condizioni

Si vede facilmente che queste condizioni sono compatibili, poiché la terza equazione è soddisfatta automaticamente quando e . Di conseguenza la decomposizione cercata è

Sostituendo nel nostro integrale si ottiene

A questo punto separiamo l’integrale nella somma di due integrali più semplici:

Per quanto riguarda il primo integrale, osserviamo che

dove è una costante reale.

Per il secondo integrale, notiamo che il numeratore coincide con la derivata della funzione . Infatti si ha

Questo suggerisce la sostituzione

Con tale sostituzione il secondo integrale diventa

dove è una costante reale.

Riunendo i due contributi otteniamo quindi

dove è una costante arbitraria.

Infine, sfruttando le proprietà elementari del logaritmo, raccogliamo il risultato in un unico logaritmo, scrivendo

Si conclude quindi che una primitiva reale della funzione data, definita per , è la funzione

dove è una costante reale.

possiamo moltiplicare ambo i membri per . Si ottiene così

Sviluppando il prodotto si ha

per cui risulta

Notando inoltre che, se si sostituisce nell’equazione iniziale, si ottiene

perciò . Questo significa che è una radice dell’equazione diversa da , ma per il calcolo richiesto non è necessario conoscere il suo valore esplicito; basta usare la relazione .

A partire da ricaviamo il comportamento delle potenze successive. Moltiplicando entrambi i membri per otteniamo

e moltiplicando ancora per si ha

Moltiplicando una terza volta per si ottiene

Osserviamo quindi che le potenze di si ripetono in cicli di tre: ogni volta che l’esponente aumenta di , il valore della potenza torna lo stesso.

Per sfruttare questa osservazione, riscriviamo gli esponenti 49, 50, 51, 52 e 53 come multipli di 3 più il resto della divisione per 3. Si ha

Usando la relazione , cioè per qualunque intero positivo , si ottengono le potenze cercate:

A questo punto possiamo sostituire tali espressioni nella somma richiesta. Si ha

Per semplificare ulteriormente, utilizziamo di nuovo l’equazione iniziale

Da essa ricaviamo una espressione per in funzione di :

Sostituendo questa relazione nell’espressione trovata per la somma, otteniamo

Concludiamo quindi che, per ogni numero che soddisfa l’equazione , il valore dell’espressione

risulta costante ed è uguale a

e l’integrale di su converge. L’integrale in questione è quindi assolutamente convergente su tutta la retta reale.

Per affrontare il calcolo introducono un parametro reale positivo e definiscono

L’integrale che interessa è semplicemente .

Per collegare a un integrale più semplice, consideriamo

Si richiama il risultato classico, ottenibile per via reale ad esempio tramite le trasformate di Fourier o di Laplace, secondo cui

Osserviamo ora che per ogni la funzione

è continua e assolutamente integrabile su . La derivata rispetto al parametro è data da

Per che varia in un compatto di questa derivata è dominata da una funzione del tipo

che è integrabile su . Si può quindi derivare sotto il segno di integrale e si ottiene

In altre parole

e quindi

Per determinare si utilizza l’espressione esplicita di . Si ha

da cui

Calcolando la derivata del prodotto

e quindi

Sostituendo questa espressione in

si ottiene

Dopo una semplificazione si ha

Nel caso particolare dell’esercizio si pone . Da quanto trovato segue

Si conclude quindi che il valore dell’integrale richiesto è

Nel nostro caso, dentro la tangente compare l’espressione . Notiamo allora che, sottraendo l’intero all’argomento della tangente, non si modifica il valore della funzione. Scriviamo quindi

e comprendiamo che il comportamento del limite è determinato dalla successione

Per calcolare il limite di quando tende all’infinito, razionalizziamo l’espressione, moltiplicando e dividendo per il coniugato. Otteniamo

Per semplificare ulteriormente, notiamo che è conveniente raccogliere sotto radice. Scriviamo infatti

Sostituendo questa espressione in si ottiene

A questo punto il calcolo del limite è immediato, perché il termine tende a zero quando tende all’infinito. Osserviamo quindi che

e di conseguenza

Abbiamo così determinato il limite della successione . Ricordando il legame tra e il nostro limite iniziale, possiamo scrivere

Poiché la funzione tangente è continua in e poiché abbiamo appena visto che

possiamo passare al limite all’interno della tangente e otteniamo

Infine osserviamo che , e quindi si arriva al risultato cercato:

Si osserva innanzitutto che questa scrittura non indica una sequenza di divisioni da svolgere in ordine, bensì rappresenta una catena di rapporti uguali. Notano infatti che tale espressione è equivalente a scrivere che il rapporto tra il primo termine della prima terna e il primo della seconda è uguale al rapporto tra i secondi termini e al rapporto tra i terzi. In formule, si ha l’uguaglianza

dove rappresenta la costante del rapporto. Da questa definizione deducono che è possibile isolare singole proporzioni classiche prendendo le coppie corrispondenti; ad esempio, si verifica che oppure che .

Considerano poi la proprietà invariantiva, che risulta essenziale per la semplificazione dei calcoli. Si nota che moltiplicando o dividendo tutti i termini di una delle due terne per uno stesso numero diverso da zero, la proporzione resta valida. Questo permette, ad esempio, di trasformare una proporzione con termini frazionari in una con termini interi, moltiplicando tutti i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

Analizzano infine una proprietà particolarmente utile per la risoluzione dei problemi, analoga alla proprietà del comporre. Si dimostra che la somma di tutti gli antecedenti (i termini della prima terna) sta alla somma di tutti i conseguenti (i termini della seconda terna) come ogni singolo antecedente sta al proprio conseguente. Matematicamente, questo si esprime con la relazione

Notano che la stessa relazione vale anche uguagliando il rapporto totale a oppure a . Questa proprietà permette di determinare i valori incogniti , e quando si conosce la loro somma totale e i numeri a cui sono proporzionali.

A questo punto notiamo che i termini possono essere raggruppati in modo da ottenere dei quadrati di binomio. Scriviamo infatti

In questo modo l’equazione iniziale diventa

Ora osserviamo che la somma di due quadrati di numeri reali può essere uguale a zero soltanto se ciascun quadrato è uguale a zero. Si ottiene quindi il sistema

Dal primo rapporto si ha

mentre dal secondo si ricava

A questo punto esprimiamo il rapporto tra , , in funzione di . Scriviamo

Osserviamo che il fattore è comune a tutti e tre i termini e, se è diverso da zero, può essere eliminato dal rapporto. Rimane quindi

Per eliminare i denominatori scegliamo un numero che sia multiplo di e di ; ad esempio . Moltiplicando tutti i termini del rapporto per si ottiene

Concludiamo che, per ogni terna di numeri reali non tutti nulli che soddisfa l’equazione data, il rapporto tra , e è

Notiamo infine che la terna , , soddisfa anch’essa l’equazione iniziale, ma in questo caso il rapporto tra le tre quantità non è definito e quindi non viene considerato nella risposta.

Base induttiva. Per si osserva che l’identità è verificata, infatti

Per il membro di destra, ponendo , si ha

Per convenzione si assume e ; inoltre, la somma con indice da a è una somma “vuota” e il suo valore è . Di conseguenza il membro di destra diventa

che coincide con il membro di sinistra. La base induttiva risulta quindi verificata.

Passo induttivo. Si suppone ora che l’identità sia valida per un certo , cioè

(3)

Si vuole mostrare che, sotto questa ipotesi, la formula vale anche per .

Si considera dunque l’integrale

Si riscrive come e si esegue una integrazione per parti, scegliendo

Da queste scelte seguono le derivate e primitive

Applicando la formula di integrazione per parti si ottiene

Si sfrutta ora l’identità iperbolica

che consente di scrivere

Si portano ora tutti i termini con l’integrale di dallo stesso lato:

Dividendo ambo i membri per si arriva alla relazione

(4)

A questo punto si sostituisce, nell’ultimo termine, l’espressione data dall’ipotesi induttiva (3). Si ottiene

Si osserva ora che

Sostituendo questa identità si ottiene

(5)

Per mettere in evidenza il fattore comune , si riscrive il primo termine al membro di destra come

Si osserva che il coefficiente

è esattamente quello che compare nella somma

quando . In altre parole, il termine

è la nuova addenda della somma corrispondente all’indice .

Sostituendo questa riscrittura in (5) e raccogliendo il fattore , si ottiene una scrittura più compatta

Questa è esattamente la formula da dimostrare con sostituito da . Il passo induttivo è quindi verificato e, per il principio di induzione, l’identità risulta vera per ogni .

Si osserva che l’espressione all’interno del seno contiene i termini e , per cui risulta naturale eseguire una sostituzione che interscambi tali quantità. Si effettua quindi la sostituzione

con positivo, in modo che

Notando che per si ha e per si ha , gli estremi di integrazione si scambiano e l’integrale assume la forma

Da questa espressione si ha

Si usa ora il fatto che per ogni numero reale vale la relazione

Nel caso presente si ha

da cui segue

Se si sostituisce questa identità nell’integrale precedente, si ottiene

L’integrale così scritto ha la stessa funzione integranda dell’integrale di partenza, mentre gli estremi sono invertiti. Si può quindi scrivere

Il valore dell’ultima espressione non cambia se si torna a chiamare la variabile di integrazione, e si riconosce che

Si ha quindi

Se si aggiunge a entrambi i membri, si ottiene

e di conseguenza

Si conclude che il valore dell’integrale proposto è

da cui

con . Per i valori con la base risulta negativa e l’esponente non è intero, quindi la potenza non è un numero reale. Il dominio di interesse risulta pertanto

Per il secondo membro si osserva che

poiché la base è maggiore di e l’esponente è positivo. Inoltre, per ogni intero vale la disuguaglianza

e in particolare, per ,

Si ha quindi che il valore fissato dal secondo membro appartiene all’intervallo aperto .

Per studiare il membro sinistro si introduce la funzione

definita sul dominio . L’equazione proposta equivale alla richiesta che

Risulta utile descrivere prima l’immagine di sui due intervalli in cui si suddivide il dominio, in modo da capire dove l’equazione possa avere soluzioni.

Per lo studio della monotonia si considera il logaritmo naturale di e si pone

Poiché il logaritmo naturale è strettamente crescente, la funzione risulta decrescente se e solo se risulta decrescente. Si calcola la derivata di :

Si richiama la disuguaglianza

valida per ogni con . Per i valori risulta e , quindi

e si ottiene

per ogni . Si ha che è strettamente decrescente su ciascuno degli intervalli e ; di conseguenza la funzione

risulta strettamente decrescente sugli stessi intervalli.

Si procede ora a determinare i limiti di agli estremi del dominio. Per si può scrivere

e, poiché

si ottiene

Per la base tende a e l’esponente tende a , per cui

Per si pone con e . Si ha

Si ricorda che

da cui

Per studiare il limite per si pone

con e . In questo modo si ottiene

e quindi

Si ha

Si fa uso dei limiti noti

per cui

A questo punto si dispone delle informazioni necessarie per determinare l’immagine di . Si consideri dapprima il ramo positivo . Per si considera l’intervallo chiuso ; su tale intervallo la funzione risulta continua e strettamente decrescente, quindi, per il teorema dei valori intermedi e per la monotonia, si ha che

Dalla descrizione dei limiti agli estremi si ha

Si ottiene quindi che, al variare di e , l’unione delle immagini coincide con l’intervallo aperto

Si considera ora il ramo negativo . Per e per si prende l’intervallo chiuso ; su tale intervallo la funzione risulta ancora continua e strettamente decrescente, per cui si applica il teorema dei valori intermedi e si ha

Dai limiti calcolati in precedenza risulta

Si ricava così che l’unione delle immagini , al variare di ed , è l’intervallo aperto

Si ha quindi che il valore

appartiene all’intervallo . Dalla descrizione dell’immagine della funzione e dalla sua stretta monotonia risulta che l’equazione

non può avere soluzioni con , mentre ha esattamente una soluzione reale con .

A questo punto si passa alla determinazione esplicita di tale valore. Si riscrive il secondo membro nel modo seguente:

Si nota che

per cui

Si osserva inoltre che per si ha ; se tale valore viene sostituito nella definizione di , si ottiene

Si ha quindi che soddisfa l’equazione proposta.

Dallo studio precedente risulta che non risulta presente alcun’altra soluzione reale, poiché su la funzione è strettamente decrescente e assume ogni valore dell’intervallo una sola volta, mentre su assume solamente valori maggiori di . Si conclude che l’unica soluzione reale dell’equazione è

e calcolarne la derivata, così da confrontarla con l’integranda. Si ha

Notando che

si ottiene

Si ha dunque che l’integranda coincide con , e quindi una primitiva è data da . In conclusione si ottiene

valida per ogni , con costante reale di integrazione.

Si osserva che il polinomio è pari e anche è una funzione pari, mentre è pari e quindi è dispari; di conseguenza la funzione

risulta dispari. Poiché l’intervallo di integrazione è simmetrico rispetto a , si ha che

e dunque

Si considera allora la funzione

e si utilizza la simmetria dell’intervallo per scrivere

Si ha

poiché e il denominatore è pari. Notando che, tramite lo sviluppo binomiale,

si ottiene

Segue allora che

e quindi

Si ha pertanto

Si conclude che il valore dell’integrale richiesto è

Si osserva che, per ogni , vale e dunque , per cui il valore assoluto esterno non modifica l’espressione. Si ha pertanto

e quindi

Notando che la funzione è pari, si ottiene che l’integrale su è il doppio dell’integrale su , cioè

Si calcola allora

Concludendo, si ottiene

La forma differenziale associata è

dove

Ciò prova la chiusura di , che è anche esatta in quanto la forma differenziale è definita su tutto , un insieme semplicemente connesso. Non resta che cercare una funzione potenziale, quindi

Derivando la funzione potenziale rispetto a , si trova:

da cui , di conseguenza:

Pertanto la funzione potenziale risulta

Le curve di livello di sono date da

Imponiamo la condizione iniziale , si ottiene e la soluzione è esprimibile in forma implicita:

In alternativa, si può trovare lo stesso risultato utilizzando un cammino formato da due spezzate parametrizzate come segue:

Applicando direttamente la definizione possiamo impostare l’integrale curvilineo della forma differenziale utilizzando la parametrizzazione dei due segmenti:

Ora, dalla condizione , si ottiene , ritrovando il risultato precedente.

poiché .

A questo punto si osserva che

per cui i due denominatori coincidono. Si ottiene quindi

Nel numeratore si impiega l’identità ; si ricorda che e si ha

A questo punto si effettua la sostituzione , per la quale risulta . Per che varia in il valore di varia in ; la relazione precedente permette di trasformare il differenziale, mentre il numeratore viene assorbito in . Da qui segue

Per semplificare ulteriormente si usa la sostituzione , per la quale . Quando tende a il logaritmo tende a , mentre per si ha . L’integrale diventa quindi

Per ricondursi all’integrale fondamentale della funzione si effettua ora la sostituzione lineare , che implica ; l’intervallo in resta sempre . Da questa trasformazione si ottiene

L’ultimo integrale è noto e si esprime tramite la funzione arctangente; infatti si ha

Se si sostituisce questo valore nella formula precedente si ottiene

Da questa relazione si conclude che

in modo che l’integrale richiesto possa essere scritto come

Si osserva che, per ogni in , vale

Notando che e , e che i quadrati annullano il segno, si ha

quindi la funzione risulta simmetrica rispetto al punto . Di conseguenza si ha che

Per semplificare ulteriormente il calcolo si sfrutta l’identità

sicché si può scrivere

Si calcolano ora esplicitamente le due funzioni presenti nell’integrando. Da un lato si ha

Dall’altro, se si applica la definizione di al punto , si ottiene

notando che e . Se si sommano i contributi si ha quindi

A questo punto si usa l’identità trigonometrica valida per ogni reale. Se si pone prima e poi , si ottiene

e

Da qui segue che

per ogni in . Se si sostituisce questa espressione nell’integrale si ottiene

Il calcolo dell’ultimo integrale fornisce

Si conclude che il valore dell’integrale proposto è

Poiché e la funzione è continua in , esiste un intorno di in cui , dunque la riscrittura precedente è lecita per sufficientemente vicino a e, inoltre, si ha

Notando che il limite del quoziente iniziale coincide con il limite dell’espressione riscritta, e ricordando che, se due limiti finiti esistono, allora esiste anche il limite del prodotto ed è pari al prodotto dei limiti, si ottiene

Per determinare quest’ultimo limite si osserva che il numeratore si può scomporre come segue:

da cui, per , si ha

Si ricorda ora che, se i due limiti di destra esistono e sono finiti, allora esiste anche il limite della somma ed è pari alla somma dei limiti; inoltre, tra i limiti notevoli per si hanno

e quindi

Applicando l’algebra dei limiti si ottiene pertanto

Si conclude che

facendo uso soltanto dei due limiti notevoli fondamentali

Per comodità si definisce, per ,

Si osserva che, ponendo (con ), si ha

Nel numeratore si inserisce e si toglie , ottenendo

e quindi, per ,

In altre parole si ottiene la relazione funzionale

Si consideri ora il limite di per e si indichi con

ammesso che tale limite esista. Passando al limite nella relazione precedente e usando i limiti notevoli ricordati all’inizio, si ha

Per essere completamente rigorosi si osserva che, prima di scrivere l’uguaglianza precedente, occorre dimostrare che i limiti al secondo membro esistono; tale verifica, che si può ottenere ad esempio mostrando che la funzione resta limitata in un intorno di e usando un argomento di unicità del limite, viene lasciata al lettore.

D’altra parte, sostituendo nel limite che definisce , si vede che

per cui l’identità precedente diventa

Portando i termini con dallo stesso lato si ottiene

da cui

Si conclude dunque che il limite cercato esiste ed è pari a

Si definiscono le due espressioni

così che l’equazione assegnata si riscrive come . Si mette in relazione e notando che la differenza dei numeratori vale

da cui segue

Si sostituisce questa relazione nell’equazione iniziale e si ha

Si considera ora la variabile e si sviluppa la potenza quarta:

Si impone l’uguaglianza a e si divide per , ottenendo l’equazione polinomiale

Si verifica che è uno zero del polinomio, infatti , quindi esso è divisibile per , e si ha

Si verifica inoltre che annulla il cubo, poiché , e si ottiene

Di conseguenza

L’ultimo fattore non fornisce soluzioni reali, poiché il discriminante è , e si conclude che

Si ritorna alla variabile e, dalla definizione di , si ha

con la condizione . Nel primo caso si ottiene

da cui segue

Nel secondo caso si ha

e quindi

Poiché nessuno dei valori trovati rende nullo il denominatore , essi sono tutti accettabili, e si conclude che le soluzioni reali dell’equazione sono

la somma e il prodotto. Qui .

Per collegare a e si osserva che e sono radici del polinomio

da cui discendono le identità

Ne segue, per ogni , una relazione ricorrente per le somme di potenze :

I valori iniziali sono immediati,

e la ricorrenza produce, senza passaggi ambigui,

Notando che , la seconda equazione del sistema diventa

Con si ottiene

ossia

Il discriminante vale , quindi

A questo punto e si ricavano come radici del polinomio con somma e prodotto :

Se si ha

e pertanto, in ,

Se invece , allora

per cui compaiono soluzioni in :

Concludendo, il sistema ammette esattamente due soluzioni reali, che sono le coppie coniugate rispetto allo scambio delle componenti, mentre in campo complesso compaiono anche le due soluzioni non reali appena elencate.

Per lo sviluppo binomiale di , che usa i coefficienti (equivalenti a quelli del triangolo di Tartaglia), si ha

Notando che i termini si elidono, si ha

da cui

e, dopo la divisione per ,

Si osserva che il polinomio può essere riscritto in modo da far comparire l’espressione , infatti

Si considera allora la quantità

così che l’equazione precedente diventa

che implica

quindi

Nel primo caso si ha

da cui

Dalla relazione segue allora

Nel secondo caso si ha

che porta a

e dalla relazione segue

Si conclude che in le sole soluzioni sono e , mentre in si aggiungono le due coppie non reali e .

e dunque il limite richiesto coincide con

Si utilizzano ora gli sviluppi per . Si ha

e, notando che , si ottiene

Si applica lo sviluppo per con e si ricava

Per la cotangente si usa insieme agli sviluppi

da cui segue

Si sostituiscono questi sviluppi nel prodotto e si ha

Pertanto

e si conclude che

Da queste relazioni si ha

e la sostituzione nell’integrale fornisce

Si usa ora la fattorizzazione

e si verifica che vale la decomposizione

Infatti il denominatore comune risulta , mentre il numeratore della differenza è

e la moltiplicazione per restituisce .

Ne segue

Per calcolare gli integrali si riscrive ciascun denominatore nel modo seguente:

da cui

Si considera allora la variabile ; notando che

si ottiene

La formula precedente, considerata con i due segni, fornisce un primitivo della funzione integranda nella forma

Per la valutazione agli estremi si osserva che, per , risulta e quindi

Di conseguenza si ha

Infine si usa l’identità , dalla quale segue

e si conclude che

A titolo di riscontro, si ha inoltre il valore numerico

Le variabili che non compaiono in non influenzano il valore del polinomio, per cui ad esse si possono assegnare irrazionali arbitrari senza alterare la tesi. Si assume quindi che la notazione descriva tutte le variabili effettivamente presenti, per non appesantire i simboli.

Si indichi con il grado totale di . Quando la costruzione passa attraverso una riduzione a un polinomio univariato; il caso si risolve con un argomento lineare, di natura diversa.

Si supponga . Si decomponda nelle sue componenti omogenee:

dove è omogeneo di grado e . Dal fatto che non sia nullo discende l’esistenza di un vettore con tutte le componenti non nulle e tale che

Una giustificazione elementare procede per induzione sul numero di variabili: si considera come polinomio in con coefficienti in , si seleziona un coefficiente non identicamente nullo e lo si valuta in un punto intero con coordinate non nulle in modo da renderlo diverso da zero; a quel punto si ottiene un polinomio univariato non nullo in , quindi con un numero finito di zeri interi, e una scelta di fuori da tale insieme conclude.

Fissato , si consideri la restrizione lungo la retta :

Ogni monomio di si trasforma in un monomio in con coefficiente intero, dunque . Il termine di grado massimo è governato dalla parte omogenea , infatti il coefficiente di in coincide con , che non si annulla per costruzione; ne segue che .

Si utilizza ora un fatto univariato. Sia con e . Si ponga e si introduca

Il coefficiente di in è , per cui è monico. Per si ha

e quindi .

Poiché è monico e di grado almeno , la differenza tende a al crescere di . Esiste dunque un intero per cui

Si denoti . Tra due interi distanti più di cade almeno un multiplo di , quindi esiste con tale che

La continuità di su fornisce un punto per cui . Il polinomio è monico e a coefficienti interi; per il teorema delle radici razionali, un’eventuale radice razionale dovrebbe essere un intero. Poiché appartiene all’intervallo aperto , tale possibilità è esclusa, e è irrazionale.

Si definisca . Il numero è irrazionale e soddisfa

poiché è multiplo di . Questo conclude la parte univariata.

Tornando al polinomio iniziale, l’argomento appena esposto si applica al . Si ottiene un irrazionale con . Si pongano

Ogni è irrazionale, perché . Infine

e il caso è risolto.

Si passi al caso . Allora è affine e si può scrivere

con . L’ipotesi sui coefficienti relativi alle variabili garantisce che almeno due tra siano non nulli. Dopo una permutazione delle variabili si può assumere

Si scelgano primi distinti e si definiscano

Si consideri la somma . Nel campo esiste, per ogni indice , un automorfismo che manda in e fissa gli altri radicali. Se fosse razionale, allora sarebbe fissato da ogni . In particolare si avrebbe e quindi

da cui segue , impossibile perché . Dunque è irrazionale.

Si definisca allora

Il numeratore è irrazionale, quindi anche è irrazionale. Per costruzione si ha

In entrambi i casi si ottiene un -uplo di numeri reali irrazionali che rende intero il valore del polinomio, come richiesto.

Da tale definizione segue

quindi i punti soddisfano l’equazione della circonferenza unitaria

Per ottenere una parametrizzazione razionale, si considera una variabile reale e si impone la relazione lineare

che, quando , equivale a

Si sostituisce nell’equazione e si ha

Si ottiene pertanto

Una soluzione è , che corrisponde al punto e non fornisce una trasformazione invertibile per l’integrale; si esclude dunque tale caso e si mantiene la soluzione non banale

Dalla relazione si ricava quindi

Poiché è stato definito come radice quadrata, si richiede , dunque

e, notando che , si ha , cioè , condizione che garantisce coerenza con la scelta del ramo principale di .

A questo punto l’integrale si riscrive come

Si calcola la derivata di rispetto a e si ottiene

Sostituendo anche , si ha

Si conclude che

Infine si torna alla variabile osservando che e , quindi

da cui

Si può inoltre verificare che tale espressione è equivalente a nell’intervallo , poiché dalla parametrizzazione si ha e dunque a meno di una costante.

Si nota che , quindi, per , il numeratore tende a e il denominatore tende anch’esso a , per cui il rapporto si presenta nella forma indeterminata . Poiché le funzioni coinvolte sono derivabili in un intorno di e la derivata del denominatore non si annulla in , si applica la regola di de l’Hopital e si ha

Notando che la derivata del numeratore coincide con la derivata di , si ottiene

mentre per il denominatore si ha

Si sostituiscono le espressioni trovate e si ottiene

Si fa tendere a e, per la continuità delle potenze, si ha

La somma è una progressione aritmetica di termini con primo termine e ultimo termine , quindi si ha

Pertanto si conclude che

Si richiede di verificare l’identità tra essi e, inoltre, di discutere la convergenza assoluta.

Per dare un senso preciso ai due integrali, si introducono le versioni troncate: per ogni si ponga

L’uguaglianza cercata riguarda i limiti di e al tendere di a .

Si applica un’integrazione per parti a , con la scelta

Ne segue la formula

poiché . A questo punto il termine di bordo non crea difficoltà: infatti

Dunque, se ammette limite finito per , lo stesso accade per e i due limiti coincidono. Resta allora da giustificare la convergenza dell’integrale con il seno.

Si osserva subito che

e l’integrale di confronto è convergente:

Si ha quindi la convergenza assoluta di , e in particolare la convergenza (in senso improprio) di per .

La relazione trovata tra gli integrali troncati consente ora di passare al limite:

Ne segue l’identità richiesta,

e, in particolare, l’integrale con il coseno risulta convergente.

La convergenza assoluta del primo integrale è invece falsa. Si consideri infatti

Per vale ; applicata a tale disuguaglianza fornisce

Pertanto

Basta provare che l’integrale a destra diverge. La parte su è finita, per continuità dell’integranda; l’attenzione si concentra allora sulla coda. Per si ha , dunque

Si studia quindi

Si usa l’identità trigonometrica e si ottiene

Il primo integrale è esplicito:

Il secondo contributo, pur oscillante, ammette limite finito per . Una stima pulita si ottiene con un’integrazione per parti:

Il termine di bordo resta limitato e tende a quando , poiché . Quanto all’integrale rimanente, si osserva che

Dunque converge per a un valore reale finito, mentre il termine diverge a . Ne segue

La catena di disuguaglianze precedente implica allora

Si conclude che converge in senso improprio (anzi coincide con l’integrale con il seno), ma non converge assolutamente, mentre converge assolutamente.

Si esegue la sostituzione trigonometrica

Su tale intervallo vale , quindi e . Ne segue

Il denominatore è scomparso. Rimane un integrale ordinario su un intervallo corto.

A questo punto la stima dall’alto si legge a colpo d’occhio: poiché , risulta per ogni . D’altra parte, la lunghezza dell’intervallo è . Pertanto

Per la stima dal basso si osserva che, se , allora e quindi ; notando che la funzione è decrescente su , si ha

Segue, per confronto,

Rimane da verificare che . Dopo la semplificazione di la richiesta diventa

Si richiama la disuguaglianza elementare per . Infatti si consideri : vale e per , dunque su . Per si ottiene

da cui e quindi, a maggior ragione, .

In conclusione

perciò è una soluzione e risulta un fattore del polinomio. Per evidenziare tale fattore si esegue un raggruppamento conveniente dei termini e si riscrive l’espressione come

Notando che

si ottiene

Si ha dunque che l’equazione assegnata è equivalente a

da cui si ottiene oppure

Per risolvere l’equazione di secondo grado si calcola il discriminante:

Poiché , si hanno due soluzioni reali distinte; si applica quindi la formula risolutiva e si ottiene

Si ha pertanto

Si ottiene infine la fattorizzazione completa

e si conclude che l’insieme delle soluzioni dell’equazione è

In modo analogo, notando che , si ha e dunque anche nel secondo prodotto i fattori sono non negativi; si ottiene

Sostituendo i risultati trovati nell’espressione iniziale, si ha

Osservano che e quindi il numeratore si può raccogliere a fattor comune rispetto a ; si ottiene

Pertanto si ha

Poiché , il denominatore è diverso da zero e la semplificazione è lecita; si ottiene

Poiché la somma risulta uguale a zero, si ottiene che entrambi i termini devono annullarsi e si ha pertanto il sistema

Dalla prima equazione si ottiene

e quindi

da cui si ha

Dalla seconda equazione si ottiene invece

Si applica la formula risolutiva e, notando che , si calcola il discriminante

e si ottiene

perciò

Poiché devono essere soddisfatte entrambe le condizioni del sistema, si ha che le soluzioni reali dell’equazione assegnata sono gli elementi comuni ai due insiemi trovati; si confrontano e e si ottiene come unica possibilità , per cui si conclude che

così che si ha .

Osservano che in entrambi i casi il denominatore è una differenza di radicali coniugati e quindi moltiplicano numeratore e denominatore per il rispettivo coniugato. Nel primo caso si ottiene

Per semplificare osservano che è possibile cercare una scrittura del tipo con e . Pongono quindi

e, se si eleva al quadrato, si ha

Se si uguagliano parte razionale e parte irrazionale si ottengono le condizioni e , cioè . Se si risolve l’equazione , si ottengono e , per cui si può scegliere e ; in questo modo

Con lo stesso ragionamento si ha anche

e quindi

Si ottiene allora

Nel secondo caso applicano la stessa razionalizzazione e ottengono

Osservano che ammette una decomposizione analoga e pongono con e . Se si eleva al quadrato, si ha

da cui seguono e , cioè . Se si risolve si ottengono e , per cui

Si ha allora

e quindi

A questo punto si ha

e si conclude che il valore dell’espressione assegnata è .

da cui si ha e, per la condizione , anche . Notando che con questa sostituzione si ottiene

l’equazione assegnata si riscrive nella forma

Moltiplicano entrambi i membri per , lecito perché , e si ottiene

Portano tutti i termini al primo membro e si ha

Raggruppano i termini in modo opportuno e si ottiene la fattorizzazione

Pertanto si ha l’equazione

da cui si ottiene oppure . Nel secondo caso si ha

Tornando alla variabile mediante , si ottiene

Si conclude che le soluzioni reali dell’equazione sono

per cui si ha

Poiché , si ottiene un’uguaglianza tra quadrati e quindi

Si ricava pertanto

Osservano inoltre che la seconda equazione è un trinomio quadratico nella quantità ; introducono allora la variabile ausiliaria e si ottiene

da cui

Si ha quindi

Considerano dapprima il caso . Pongono , con , e quindi e ; ne segue

Se impongono , si ha

e quindi

Se impongono invece , si ottiene

da cui

Si ha quindi , ossia ; da si ricavano i corrispondenti valori di e da si ottengono i due valori opposti di . Si conclude che le soluzioni reali ottenute in questo caso sono

Passano al caso . Pongono ancora , con , e quindi e ; di conseguenza

Se impongono , si ottiene

il cui discriminante risulta

per cui non si hanno soluzioni reali. Se impongono , si ha

da cui

ma tali valori sono incompatibili con . Si conclude quindi che questo secondo caso non fornisce soluzioni reali.

Si ha che l’insieme delle soluzioni reali del sistema è

Di conseguenza si ottiene

Per il secondo termine si riscrivono le potenze con base e si calcola prima la frazione interna:

Pertanto si ha

A questo punto l’espressione nelle parentesi quadre si riduce a , quindi si ottiene

e si conclude che il valore dell’espressione è

così che , e . La seconda equazione diventa allora

Si introduce ora la somma simmetrica

Notando che

si ottiene un’equazione in soltanto:

Il discriminante vale , perciò

Resta da imporre . Tale vincolo equivale a una quadratica in ,

Se si ha

il cui discriminante è . Ne segue che questa scelta di non produce soluzioni reali per . L’unica possibilità reale è dunque , che conduce a

Qui il discriminante è e si ottengono due valori reali:

Si passa ora da alle variabili originarie. Se , allora e la prima equazione diventa

Da qui , quindi e, in corrispondenza, , cioè

Se invece , si ha , quindi . La prima equazione fornisce

da cui e . Ne segue e quindi

Alla fine, nel dominio reale con e , le soluzioni del sistema sono esattamente

Per ogni con si definisce

In questa forma il primo termine corrisponde a , il secondo a , e così via, poiché il numeratore contiene esattamente fattori a partire da , mentre il denominatore ne contiene a partire da .

A questo punto si introduce, per ogni con , la quantità ausiliaria

Si ha immediatamente , e inoltre il rapporto fra due termini consecutivi assume una forma semplice:

La differenza mette in evidenza lo scarto costante fra i due blocchi di fattori. Si calcola infatti, per ogni ,

D’altra parte, per definizione,

e quindi la relazione precedente equivale a

Dunque, per ogni con si consideri la somma parziale ; allora

Resta da analizzare il limite di al tendere di a . Si osserva che per ogni vale

e dunque, per ogni ,

Per stimare la somma armonica traslata si usa un confronto integrale: per ogni ,

Ne segue la stima

da cui si deduce per .

Al limite, per , la formula delle somme parziali fornisce

Poiché , si ottiene infine

Pertanto la serie proposta converge e la sua somma vale

La regione è una calotta solida della sfera di raggio ottenuta tramite il taglio col piano orizzontale . Per descriverne i limiti di integrazione conviene isolare prima la proiezione sul piano . Si fissi dunque un punto e si osservi la retta verticale corrispondente. La sfera impone

mentre la condizione seleziona la parte sopra il piano. Esiste un segmento verticale non vuoto se e solo se la quota superiore della sfera supera , cioè se vale la disequazione

Elevando al quadrato, lecitamente perché entrambi i membri sono non negativi, si ottiene

e quindi

Ne segue che la proiezione di sul piano è il disco

e, per ogni , la variabile varia nell’intervallo

Il volume è dato dall’integrale triplo della funzione costante . Si ha allora

Per trattare l’integrale piano si introducono le coordinate polari , , con jacobiano . Il disco diventa

e dunque

Si ponga . L’integrale si separa in due contributi:

Il secondo termine è immediato:

Per il primo termine si utilizza la sostituzione , da cui . Si ottiene

Sostituendo,

Si passa ora al baricentro. La densità volumetrica è costante, perciò

La geometria di presenta simmetria rispetto ai piani e . Di conseguenza gli integrali delle funzioni dispari in e in si annullano e si ha

Rimane la sola coordinata , che si etichetta per comodità come segue:

Si utilizza la stessa descrizione per fili verticali già impiegata per il volume:

L’integrale interno è elementare:

e dunque

In coordinate polari, notando che e , si ottiene

Il calcolo è diretto:

da cui

Si arriva infine a

In conclusione,

e

Una strada rapida consiste nel far sparire tramite differenze tra equazioni: la prima meno la terza dà

mentre la seconda meno la terza produce

Il problema si riduce così a un sistema in e con matrice dei coefficienti

Per ogni il determinante non è nullo e risultano determinati in modo univoco. La regola di Cramer fornisce

e, con un calcolo analogo,

A questo punto si ricava dalla terza equazione, senza ambiguità:

Rimane da discutere ciò che accade per i valori eccezionali e . Se , il sistema iniziale diventa

e la stessa espressione al primo membro è uguale a due termini noti diversi: il sistema è incompatibile, dunque non esistono soluzioni.

Se invece , il sistema è

La prima meno la terza dà

e la seconda meno la terza conduce alla stessa relazione, per cui rimane un parametro libero. Per ogni si può porre , ottenere e poi ricavare dalla terza equazione:

In conclusione, l’insieme delle soluzioni al variare di è

La quantità è positiva. Il logaritmo naturale si può dunque applicare senza ambiguità e risulta conveniente, perché trasforma la radice -esima in un quoziente.

Si ponga allora

Per ogni con si ha

A questo punto si introducano, per ogni con ,

così che . La successione è strettamente crescente e non è limitata superiormente. In tale situazione il criterio di Stolz-Cesàro assicura che, se esiste il limite

allora esiste anche e i due limiti coincidono.

Qui per ogni . Ne segue che

a condizione che il limite a destra esista.

Si calcoli dunque per ogni con :

Una riorganizzazione elimina i termini dominanti. Si separi la parte con :

Il primo blocco si semplifica in modo netto, notando che :

Per ogni con si ha

quindi

Il secondo blocco si scrive come

Qui entra in gioco la definizione classica di :

La continuità del logaritmo su implica allora

e di conseguenza

Le due parti convergono. Il limite della somma esiste e vale

Per Stolz-Cesàro si ottiene dunque

Resta un ultimo passaggio, breve. Poiché e l’esponenziale è continua, si ha

La funzione risulta ben definita e continua per ogni , mentre in compare una singolarità di tipo logaritmico. Per evitare ambiguità, l’integrale va inteso in senso improprio, cioè

Il limite esiste; notando che per , si ha e dunque la singolarità è della stessa natura di presso lo zero. D’altra parte,

così che la convergenza dell’integrale improprio segue senza difficoltà.

Stabilito questo punto, il calcolo sfrutta una simmetria elementare. Si introduce anche

e si osserva che una sostituzione di variabile data da , con , conduce a

Ne segue che la somma si riduce a , e in più permette di accorpare i logaritmi:

A questo punto entra in gioco l’identità trigonometrica

valida per ogni . La precedente espressione diventa quindi

Resta da ricondurre l’integrale con argomento alla quantità . Con la sostituzione , si ha e

Ora, per ogni vale ; di conseguenza è simmetrica rispetto a , e l’integrale su si dimezza esattamente:

Pertanto

e l’identità ottenuta in precedenza si semplifica in modo netto:

Si deduce allora

Il segno negativo è compatibile con la disequazione valida per ogni , dalla quale segue su tutto l’intervallo, con uguaglianza soltanto nel punto .

Per alleggerire la notazione si introducano

così che l’espressione sotto il segno di integrale si riscrive come . La forma ricorda un quoziente incrementale della funzione ; la via più pulita consiste nel trasformare tale quoziente in un integrale privo di singolarità.

Siano con e si definisca, per ogni ,

Si ha . L’integrazione sull’intervallo dà

e quindi

Il membro destro ammette limite per ed è uguale a quando ; il quoziente incrementale possiede dunque un’estensione continua naturale. La scelta e fornisce, per quasi ogni ,

A questo punto la funzione sotto il segno di integrale risulta non negativa. Si può allora invocare Tonelli e scambiare l’ordine di integrazione:

Per ogni , all’interno delle parentesi compare un prodotto di integrali monodimensionali, poiché l’esponente è somma di termini separati:

e un’identica fattorizzazione vale per il blocco con coefficiente .

Per ogni si consideri ora l’integrale

La sostituzione implica e

Ne segue

Questa valutazione entra nella formula per e, per ogni , porta alle identità

Il prodotto dei due fattori è

L’integrale in è finito, perché è integrabile sia presso sia presso , e coincide con l’integrale di Eulero-Beta:

Ne risulta che la valutazione cercata è data da:

Resta da determinare il limite per . Si utilizza lo sviluppo di Laurent della funzione Gamma in :

dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Con la scelta si ha e dunque

A questo punto, notando che , segue

La moltiplicazione per e il passaggio al limite per danno

da cui segue infine

Il simbolo si interpreta come divisione, perciò la parentesi interna coincide con

Prima di passare alla semplificazione si deve chiarire per quali valori reali l’espressione è definita. Il vincolo più delicato è quello imposto dalla radice quadrata, che richiede la disequazione

Notando che per ogni , la condizione precedente equivale a . D’altra parte, la presenza della divisione obbliga a richiedere

e ciò elimina precisamente il caso . In definitiva si lavora con

Su tale dominio è lecita la riscrittura dei radicali tramite potenze razionali. Si ha infatti e, di conseguenza,

A questo punto ciascun quinto radicale si riduce immediatamente:

La parentesi interna diventa allora una singola potenza di :

L’elevamento al cubo conclude la semplificazione:

L’integrando risulta non negativo per ogni e per ogni , poiché e per ogni . Di conseguenza, per Tonelli l’integrale può essere trattato come integrale a valori estesi e lo scambio dell’ordine d’integrazione, insieme ai cambi di variabili che seguono, non richiede alcuna ipotesi di convergenza assoluta.

Si introduca il cambiamento di variabili

Per e si ottiene una corrispondenza biunivoca con il quadrante aperto ; i bordi hanno misura nulla e non influenzano il valore dell’integrale improprio. Inoltre

e il determinante jacobiano vale

Pertanto e si ha , cioè

L’integrando si semplifica in modo netto: infatti , e . Ne segue

A questo punto conviene integrare rispetto a per primo. Si definisca, per ogni ,

così che, per Tonelli,

Il calcolo di è elementare. Se , allora e

poiché, con e , si ottiene e , dunque l’integrale diventa .

Per si ponga invece con . Allora

e, notando che

si ricava

Si esegua ora la sostituzione , così che e . Allora

Se , si utilizza la derivata

da cui segue

Moltiplicando per si ottiene

Se , la formula precedente si estende per continuità e restituisce , valore che coincide anche con il calcolo diretto della rappresentazione integrale. In conclusione,

La riduzione è ormai completa:

Resta da discutere la convergenza. Per ogni si ha , quindi

Inoltre, per ogni vale . Si deduce la stima dal basso

Ne consegue

Poiché l’integrando iniziale è non negativo, questa divergenza implica che l’integrale dato diverge a .

A prima vista l’argomento del seno diverge e non vi è alcuna convergenza puntuale di , per cui un ragionamento basato su valori limite delle singole componenti risulta sterile. L’informazione utile sta altrove: l’incremento tende a zero e, di conseguenza, la differenza tra i due valori deve essere controllata tramite la regolarità della funzione.

Si introduca allora la funzione definita da

Essa è di classe su . Si calcola la derivata,

e si osservi una stima uniforme. Notando che e per ogni , si ha

La derivata risulta quindi limitata globalmente. A questo punto entra in gioco il teorema del valor medio di Lagrange: fissato , esiste un punto compreso tra e tale che

Da questa identità si ricava immediatamente una stima della differenza richiesta:

Il termine tende a quando . Si ottiene dunque, per confronto,

Ne segue che

Per uniformare gli orari, si misura il tempo in ore a partire dalle . Si consideri dunque l’intervallo

che corrisponde alle ore comprese tra le e le .

Il moto del primo giorno si rappresenta tramite una funzione tale che sia la posizione lungo la strada all’istante che corrisponde alle ore . L’ipotesi fisica “senza fermarsi mai” esclude soste e inversioni, ma soprattutto consente di adottare un modello continuo nel tempo: si assume dunque che sia continua su . I dati agli estremi impongono

In modo analogo, il moto del secondo giorno si rappresenta con una funzione , continua su , dove indica la posizione lungo la stessa coordinata all’istante delle ore del giorno successivo. In questo caso l’uomo parte da Roma e arriva a casa, perciò

A questo punto si osserva che il confronto tra le due posizioni, prese allo stesso orario nei due giorni diversi, si traduce nello studio della funzione differenza

La continuità di su segue dalla continuità di e . Basta valutare agli estremi dell’intervallo:

L’uguaglianza delle posizioni in un medesimo istante-orario equivale a risolvere l’equazione . La presenza di un cambio di segno tra e forza l’esistenza di uno zero interno per il teorema dei valori intermedi: poiché è continua su e si ha , esiste un tempo tale che

Ne segue che all’istante delle ore il viaggiatore si trova nella stessa posizione lungo il percorso comune sia nel viaggio di andata sia nel viaggio di ritorno. Tale posizione appartiene al cammino condiviso, ed è attraversata in entrambi i giorni allo stesso orario.

La stessa idea, applicata alle altre due espressioni quadratiche, produce risultati del tutto analoghi; si ottiene

Poiché , in particolare , , , e dunque la somma data è ben definita. A questo punto la riscrittura è immediata:

La parentesi si raccoglie su denominatore comune ; si trova

Il numeratore è nullo per ipotesi, mentre il denominatore è non nullo, e pertanto segue

In conclusione, il valore richiesto è

la quale ha senso soltanto sotto la condizione di esistenza

Notando che numeratore e denominatore si ricompongono in somme di termini quadratici e lineari, si riscrive

A questo punto emergono due fattorizzazioni immediate. Da un lato,

dall’altro

Si ottiene allora, senza passaggi ambigui,

e, con lo stesso criterio,

La frazione iniziale assume quindi la forma

Il fattore comune merita attenzione: se , allora sia numeratore sia denominatore si annullano e l’espressione originaria non risulta definita; pertanto deve valere

Inoltre, poiché compare il fattore al denominatore, si deve imporre anche

Sotto queste condizioni la semplificazione è lecita e conduce a

L’uguaglianza tra frazioni si traduce in un’equazione lineare:

Sviluppando e raccogliendo i termini simili si ha

Ne segue che , altrimenti e si avrebbe , in contrasto con la condizione di esistenza. La quantità richiesta è dunque ben definita e costante:

Per completezza, la condizione diventa , cioè ; tale vincolo non modifica il valore di , che resta uguale a per ogni scelta ammessa di .

dove indica la parte intera inferiore e la parte intera superiore. L’integranda risulta limitata su e presenta discontinuità solo nei punti interi; la presenza di un insieme finito di discontinuità non altera la trattabilità dell’integrale e suggerisce, senza ulteriori artifici, di spezzare l’intervallo nei tratti unitari.

Si fissi dunque un intero . Per ogni si ha

così che, all’interno di , il prodotto coincide con . Ai punti e la parte intera superiore coincide con quella inferiore, ma tali eccezioni sono puntuali e non incidono sul valore dell’integrale.

L’additività dell’integrale su intervalli adiacenti porta allora a scrivere

poiché su ciascun tratto la sostituzione dell’integranda con vale quasi ovunque. Ne segue che

La primitiva di è , quindi

Segue allora la riduzione a una somma finita:

A questo punto conviene sviluppare il polinomio, così da ricondursi alle somme di potenze intere. Si osserva che

per cui

Valgono, per ogni , le identità note

Si applicano con e si ottiene

Notando che e , si ha

Pertanto l’integrale richiesto vale

coincide con lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale complesso, perciò essa vale . Dalla formula di Eulero e si ottiene

Per l’estremo superiore, la somma dentro l’arcotangente è una serie geometrica:

quindi

Resta il termine integrale improprio. Nel denominatore si completa il quadrato,

e con il cambio di variabile (così che ) segue

Pertanto

Si semplifica ora l’esponente. I fattoriali danno

Per l’integrale in si osserva che la derivata di è ; notando che questo suggerisce la sostituzione , con , si ha

Ne segue

Si passa all’integrando. Per ogni , le serie di potenze date coincidono con gli sviluppi di Taylor di seno e coseno:

Di conseguenza, dove l’espressione è definita,

e dunque

I punti e sono singolari per e , ma l’uguaglianza precedente mostra che si tratta di singolarità eliminabili: la funzione si estende per continuità a sugli estremi. Con l’integrale si riduce quindi a

A questo punto si usa l’identità e si ottiene