Teoremi della media integrale

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Teorema 1 (teorema della media integrale). Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione integrabile in $[a,b]$ . Allora

$\begin{equation*} \inf_{[a,b]}f\leq\dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx}{(b-a)}\leq \sup_{[a,b]}f. \end{equation*}$

Inoltre se $f$ è continua in $[a,b]$ allora esiste un punto $x_0\in[a,b]$ tale che

$\begin{equation*} f(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx. \end{equation*}$

Dimostrazione. Dalla definizione di funzione integrabile secondo Riemann, per ogni partizione $P$ dell’intervallo $[a,b]$ risulta che

$\begin{equation*} s(P,f)\leq\int_{a}^{b} f(x)dx\leq S(P,f). \end{equation*}$

Se consideriamo la partizione meno fine di tutte $P_0=\{a,b\}$ costituita dai soli estremi dell’intervallo abbiamo

$\begin{equation*} s(P_0,f)=\inf_{[a,b]} f\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq S(P_0,f)=\sup_{[a,b]}f\cdot (b-a). \end{equation*}$

Dividiamo le precedenti disuguaglianze per la quantità $b-a>0$ e otteniamo

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