Teorema fondamentale del calcolo integrale (versione breve)

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Supponiamo che $f$ sia una funzione integrabile nell’intervallo $[a,b]$ ; per ogni $x\in[a,b]$ la funzione $f$ è quindi integrabile anche nell’intervallo $[a,x]$ , quindi è ben definita

$\begin{equation*} \int_{a}^{x}f(t)dt. \end{equation*}$

Questo integrale, una volta fissato $a$ dipende unicamente dalla variabile $x$ ; pertanto è possibile definire una nuova funzione che associa ad ogni $x\in[a,b]$ il valore dell’integrale.

Definizione 1. Sia $f$ una funzione integrabile nell’intervallo $[a,b]$ ; si chiama \textbf{funzione integrale} di $f$ relativa al punto $a$ , la funzione $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ definita da:

$\begin{equation*} F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt. \end{equation*}$

Se $f$ è positiva o nulla si può interpretare geometricamente la funzione integrale come una funzione che associa ad ogni $x\in [a,b]$ l’area sottesa al grafico della funzione. Nel caso in cui la funzione assuma valori positivi e valori negativi l’integrale definito corrisponderà alla somma con segno delle due aree che si trovano nel semipiano superiore e inferiore rispetto all’asse delle ascisse.
Grazie ai risultati dimostrati nei precedenti paragrafi è possibile dimostrare il teorema che lega l’integrale e la derivata e che evidenzia in particolare quali sono le ipotesi per la derivabilità della funzione integrale.

Teorema 2 (teorema fondamentale del calcolo integrale). Sia $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una funzione continua nel suo dominio. La sua funzione integrale $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ è derivabile in $(a,b)$ e risulta $F'(x)=f(x)$ per ogni $x\in(a,b)$ . Inoltre se $G$ è una funzione derivabile tale che $G'(x)=f(x)$ allora $F(x)=G(x)-G(a)$ .

Dimostrazione. Una funzione $F$ è derivabile in un punto $x$ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, ovvero vogliamo dimostrare che esiste ed è finito