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Sostituzione di Weierstrass

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 
Si richiede di calcolare il seguente integrale indefinito:

\[\int f\left(\cos x ,\sin x \right)\,dx.\]

In questi casi è utile applicare la sostituzione di Weierstrass che consiste nel sostituire il coseno e il seno in termini di funzioni che dipendono \tan \left(\dfrac{x}{2}\right):

\[\begin{cases} \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\\\\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\quad \quad\text{con}\,\, x\in\left(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\,k\in\mathbb{Z}\\\\ \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t \end{cases}\]

da cui

\[\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t\quad \Rightarrow \quad x=2\arctan t \quad \Rightarrow \quad dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt.\]

Quindi

\[\int f\left(\cos x ,\sin x \right)\,dx=\int f\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\dfrac{2t}{1+t^2} \right)\left(\dfrac{2}{1+t^2}\right)dt.\]

Dimostriamo le formule parametriche.

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