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Sostituzione di Eulero

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 
Immaginiamo di voler calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\quad \text{con}\,\,a>0.\]

In questa circostanza è utile ricorrere alla sostituzione di Eulero. Si pone \sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt{a}+t (scegliendo indifferentemente il + o il – e gli altri parametri in modo tale che la radice sia ben definita) e elevando al quadrato entrambi i membri si ha:

\[ax^2+bx+c=ax^2+t^2\pm2xt\sqrt{a}\quad \Leftrightarrow \quad bx\mp2xt\sqrt{a}=-c+t^2\quad \Leftrightarrow \quad x\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)=t^2-c\quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{t^2-c}{b\mp2t\sqrt{a}}\]

e differenziando x si ottiene

\[dx=\left(\dfrac{2t\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)-\left(t^2-c\right)\left(\mp2\sqrt{a}\right)}{\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)^2}\right)dt=\left(\dfrac{2tb\mp4t^2\sqrt{a}\pm2t^2\sqrt{a}\mp2c\sqrt{a}}{\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)^2}\right)dt=\left(\dfrac{\mp2t^2\sqrt{a}+2tb\mp2c\sqrt{a}}{\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)^2}\right)dt\]

da cui

\[\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx=\int f\left(\dfrac{t^2-c}{b\mp2t\sqrt{a}},\pm x\sqrt{a}+t\right)\left(\dfrac{\mp2t^2\sqrt{a}+2tb\mp2c\sqrt{a}}{\left(b\mp2t\sqrt{a}\right)^2}\right)dt\quad \text{con}\,\,a>0.\]

Esempio 1. Calcolare il seguente integrale

\[\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{x^2+x+1}}\,dx.\]

 
Svolgimento. Si pone \sqrt{x^2+x+1}=x+t e quindi si ha

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