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Proprietà delle funzioni integrabili

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 

In questa sezione verranno dimostrate le principali proprietà delle funzioni integrabili secondo Riemann che risulteranno utili per le prime regole di integrazione.
 

Teorema 1. Siano f e g due funzioni integrabili secondo Riemann in [a,b] e k\in\mathbb{R}. Allora valgono le seguenti proprietà:

  1. la funzione f+g è integrabile e

    \begin{equation*} \int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx. \end{equation*}

  2. La funzione k\cdot g è integrabile e

    \begin{equation*} \int_{a}^{b}k\cdot f(x)dx=k\cdot\int_{a}^{b} f(x)dx. \end{equation*}

  3. Proprietà di linearità \alpha f+\beta g è integrabile e

    \[\int_{a}^{b}\left(\alpha\, f(x)+\beta\, g(x)\right)\,dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.\]

  4. Proprietà di monotonia Se f(x)\geq g(x) per ogni x\in [a,b] allora

    \begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x)dx\geq\int_{a}^{b} g(x)dx. \end{equation*}

  5. |f| è integrabile e

    \begin{equation*} \Big|\int_{a}^{b} f(x)dx\Big|\leq\int_{a}^{b} |f(x)|dx. \end{equation*}

 
Prima di procedere alle dimostrazioni ricordiamo le seguenti proprietà degli estremi superiori ed inferiori

\[\begin{aligned} &\sup_X(f+g)\leq \sup_Xf+\sup_Xg,\\ &\inf_X(f+g)\geq\inf_Xf+\inf_Xg,\\ &\text{se}\,\,\alpha>0:\,\sup_X\left(\alpha f\right)=\alpha\sup_Xf,\\ &\text{se}\,\,\alpha<0:\sup_X(\alpha f)=\alpha\inf_X(f),\\ &\text{se}\,\,\alpha>0:\inf_X(\alpha f)=\alpha\inf_X(f),\\ &\text{se}\,\,\alpha<0:\inf_X(\alpha f)=\alpha\sup_X(f). \end{aligned}\]

 

Osservazione 2. Immaginiamo di voler applicare \sup_X(f+g)\leq \sup_Xf+\sup_Xg alle somme superiori. Allora si avrebbe:

\[\begin{aligned} S(P,f+g)&=\sum_{i=1}^{n}M_i\left(P,f+g\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f+g\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)\leq\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)+\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,g\right)\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)+\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\\ &=S(P,f)+S(P,g) \end{aligned}\]

dove P è una partizione di [a,b].
Le altre proprietà si applicano in modo analogo.
 
Dimostrazione.

  1. Per prima cosa dimostriamo che se f e g sono integrabili in [a,b] allora la funzione f+g è integrabile in [a,b]. Per l’ipotesi di integrabilità delle due funzioni si ha che per il criterio di integrabilità1 scelta una quantità \varepsilon>0 esistono due partizioni distinte P e Q relative all’intervallo [a,b] tali che

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)<\frac{\varepsilon}{2},\qquad\text{ e }\qquad S(Q,g)-s(Q,g)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}

    Indichiamo con R=P\cup Q una partizione di [a,b] che risulta ovviamente più fine di P e Q. Allora quanto affermato per le partizioni P e Q continuerà ad essere valido per la partizione R2

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)\leq S(R,f)-s(R,f)<\frac{\varepsilon}{2}\qquad\text{ e }\qquad S(Q,g)-s(Q,g)\leq S(R,g)-s(R,g)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}

    Dalle proprietà dell’estremo inferiore e superiore \sup_X(f+g)\leq\sup_Xf+\sup_Xg e \inf_X(f+g)\geq\inf_Xf+\inf_Xg otteniamo

    \begin{equation*} s(R,f)+s(R,g)\leq s(R,f+g)\leq S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{equation*}

    da cui

    \[\begin{cases} s(R,f)+s(R,g)\leq s(R,f+g)\\ S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -s(R,f+g)\leq -s(R,f)-s(R,g)\\ S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{cases}\]

    cioè

    \[S(R,f+g)-s(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g)-s(R,f)-s(R,g)=S(R,f)-s(R,f)+S(R,g)-s(R,g)\]

    quindi

    \begin{equation*} S(R,f+g)-s(R,f+g)\leq S(R,f)-s(R,f)+S(R,g)-s(R,g)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}

    pertanto la funzione f+g è integrabile.

    Ora dobbiamo dimostrare che

    \[\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\,dx.\]

    Osserviamo quanto segue

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