Integrazione per sostituzione

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Teorema 1 (integrazione per sostituzione). Siano $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ e $g:[c,d]\to[a,b]$ tali che f sia continua in $[a,b]$ e g una funzione continua con derivata continua nell’intervallo $(c,d)$ . Allora

(1) $\begin{equation*} \int_{c}^{d}f(g(t))\cdot g^\prime(t)\,dt=\int_{g(c)}^{g(d)}f(x)\,dx. \end{equation*}$

In particolare per gli integrali indefiniti possiamo scrivere formalmente quanto segue

$\int f(g(t))\,g^\prime (t)\,dt= \int f(x)\,dx.$

Dimostrazione. Sia $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ tale che $F^\prime(x)=f(x)$ e pertanto $F\circ g:[c,d]\to\mathbb{R}$ ha $[F(g(x))]^\prime=f(g(x))g^\prime(x)$ per ogni $x\in[c,d]$ .

Quindi essendo $F(g(x))$ una primitiva di $f(g(x))g^\prime(x)$ possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale

$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(g(\beta))-F(g\left(\alpha\right))=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(x))g^\prime(x)\,dx$

da cui la tesi.

Osservazione 2. Nel caso in cui la funzione $g$ risulti invertibile possiamo riscrivere l’uguaglianza \eqref{Integralesostituzione} come segue

(2) $\begin{equation*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{g^{-1}\left(a\right)}^{g^{-1}\left(b\right)}f(g(t))\,g^\prime(t)\,dt \end{equation*}$

dove $g^{-1}$ è la funzione inversa di $g$ .

Esempio 3. Calcolare

$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx.$

Svolgimento. Osserviamo che, considerando $f(x)=\sqrt{x}$ e $\phi(x)=1+x^2$ allora $\phi'(x)=2x$ e possiamo ricondurci a un integrale della forma $\int f(\phi(x))\phi'(x)\,dx$ .