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Integrazione per parti

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.

 
 

Teorema 1 (formula di integrazione per parti). Siano f e g due funzioni continue e derivabili con derivata continua. Allora

\begin{equation*} \int f(x)\,g^\prime(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f^\prime(x)\,g(x)\,dx. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Dalla regola di derivazione del prodotto tra funzioni

\begin{equation*} \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right). \end{equation*}

Integrando ambo i membri della precedente relazione e utilizando la proprietà di linearità si ottiene:

\begin{equation*} \int\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)^\prime dx=\int f^\prime\left(x\right)\,g\left(x\right)dx+\int f\left(x\right)\,g^\prime\left(x\right)\,dx. \end{equation*}

La tesi si ottiene osservando che la funzione f\cdot g è una primitiva di (f\cdot g)'.
 

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