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Integrazione di funzioni razionali

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 

In questa sezione consideriamo funzione del tipo \displaystyle f(x)=\frac{N(x)}{D(x)} con N e D generici polinomi di grado n; in particolare f è definita in \{x\in\mathbb{R}:\,D(x)\neq 0\}.
 
Osservazione 1. E’ sempre possibile ricondursi a un integrale in cui il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Infatti detti Q(x) e R(x) il quoziente e il resto della divisione tra N(x) e D(x), avremmo

\begin{equation*} \int \frac{N(x)}{D(x)}dx=\int \frac{Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}dx=\int\left(Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}\right)\,dx \end{equation*}

dove il grado di R(x) è minore del grado di D(x). La funzione integranda può essere riscritta come somma di un polinomio e di una funzione razionale il cui grado del numeratore è minore stretto del grado del denominatore.
 
Esempio 2. Calcolare

\[\int\frac{x^4}{x^2+1}dx.\]

 

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