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Integrabilità delle funzioni monotone

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 

Teorema 1. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione monotona in [a,b]. Allora f è integrabile secondo Riemann in [a,b].

 
Dimostrazione. Supponiamo che la funzione sia monotona crescente; la dimostrazione nel caso decrescente è analoga. Poiché f è limitata allora \min_{[a,b]}f=f(a)\leq f(x)\leq f(b)=\max_{[a,b]} f,\,\,\,\forall x \in (a,b). Nel caso in cui la funzione f è costante si conclude subito che è integrabile. Supponiamo che f non sia costante in [a,b] allora dato \varepsilon>0 si consideri una partizione dell’intervallo [a,b] tale che

\begin{equation*} |P|:=\max_i{|x_{i}-x_{i-1}|}<\frac{\varepsilon}{\left \vert f(b)-f(a)\right \vert }. \end{equation*}

Osserviamo che la funzione essendo monotona crescente \left \vert f(b)-f(a)\right \vert=f(b)-f(a)>0; inoltre per la monotonia di f, abbiamo che m_i=f(x_{i-1}) e M_i=f(x_i) e quindi

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