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Integrabilità delle funzioni continue

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 

Teorema 1. Sia f una funzione continua in [a,b]. Allora f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b].

 
Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che f è una funzione continua in un compatto [a,b] pertanto per il teorema di Weierstrass è limitata e quindi ha senso indagare se sia integrabile; inoltre per il teorema di Heine-Cantor f è uniformemente continua in [a,b]: preso un valore \varepsilon>0 esiste \delta_\varepsilon>0: \space\forall x,x'\in [a,b]\space : |x-x'|<\delta_\varepsilon si ha che1

\[|f(x)-f(x')|<\frac{\varepsilon}{(b-a)}.\]

Consideriamo2 P_\varepsilon=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\} una partizione dell’intervallo [a,b] scelta in modo tale che x_j-x_{j-1}<\delta_\varepsilon\,\,\forall j\in \{1,\dots, n\}. Siano inoltre \displaystyle m_j=\inf_{[x_{j-1},x_j]}f e \displaystyle M_j=\sup_{[x_{j-1},x_j]}f allora per il teorema di Weierstrass esistono x_j'\in[x_{j-1},x_j] tale che f(x_j')=m_j e x_j''\in[x_{j-1},x_j] tale che f(x_j'')=M_j per ogni j=1,...,n. Allora

\[M_j-m_j=f(x_j'')-f(x_j')<\frac{\varepsilon}{(b-a)}.\]

Quindi

\begin{equation*} \begin{split} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)=\sum_{j=1}^{n}(M_j-m_j)(x_{j}-x_{j-1})\leq\frac{\varepsilon}{(b-a)}\sum_{j=1}^{n}(x_j-x_{j-1})=\frac{\varepsilon}{(b-a)}(b-a)=\varepsilon. \end{split} \end{equation*}

Cioè f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] per il criterio di integrabilità.3
 

Teorema 2. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione limitata in [a,b] e continua in [a,b]\setminus N dove N è un sottoinsieme finito di punti di [a,b] allora f è integrabile secondo Riemann in [a,b].Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione limitata in [a,b] e continua in [a,b]\setminus N dove N è un sottoinsieme finito di punti di [a,b] allora f è integrabile secondo Riemann in [a,b].

 

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