Integrabilità delle funzioni composte

Integrale di Riemann

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro.

Revisori: Roberto Castorrini.

Teorema 1. Sia

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

una funzione integrabile e poniamo

$m:= \inf_{[a,b]}f \quad \quad M:=\sup_{[a,b]} f.$

Allora, per ogni funzione continua

$g:\left[m,M\right]\to\mathbb{R},$

la funzione

$h:=g\circ f:[a,b]\to\mathbb{R }$

risulta integrabile in $[a,b]$ .

Dimostrazione. Osserviamo che per il teorema di Heine-Cantor la funzione $g$ risulta uniformemente continua nel proprio dominio, ovvero

$\forall \varepsilon>0 \; \exists \delta>0: \; x,y \in [m,M], \;|x-y| < \delta \Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon.$

Fissato $\varepsilon >0$ , scegliamo $\delta$ in modo tale che $\delta < \varepsilon$ . Inoltre osserviamo che, essendo $f$ integrabile nel proprio dominio, per il criterio di integrabilità¹ si può scegliere una partizione $P=\{ x_0,\dots, x_n \}$ di $[a,b]$ tale che:

$S(P,f)-s(P,f)<\delta^2.$

Siano

$m_i:= \inf_{[x_{i-1},x_i]}f, \quad \quad M_i:=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f, \quad \text{ per }i\in \{1,\dots,n\}.$

Ora dividiamo l’insieme degli indici $i \in \{1,\dots,n\}$ in due sottoinsiemi $A$ e $B$ tale che

$A\cup B=\{1,\dots,n\}$ ;
$M_i-m_i<\delta,\quad \forall i \in A$ ;
$M_i-m_i\geq \delta,\quad \forall i \in B.$

Siano ora

$\tilde{m}_i:= \inf_{[x_{i-1},x_i]}h, \quad \quad \tilde{M}_i:=\sup_{[x_{i-1},x_i]}h, \quad \text{ per }i\in \{1,\dots,n\},$

e siano $y_i^1,y_i^2\in [ m_i,M_i]$ tali che

$g(y_i^1)=\inf_{[m_i,M_i]}g \quad \quad g(y_i^2)=\sup_{[m_i,M_i]}g.$

Preso $i \in A$ , abbiamo $|y_i^2- y_i^1| \leq M_i-m_i <\delta$ e dunque per l’uniforme continuità di $g$ otteniamo

$\tilde{M}_i-\tilde{m}_i\leq \sup_{[m_i,M_i]}g-\inf_{[m_i,M_i]}g= g(y_i^2)-g(y_i^1) <\varepsilon.$

Preso $i \in B$ , possiamo stimare $\tilde{M}_i-\tilde{m}_i$ come segue:

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