Criterio di integrabilità

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Enunciamo un criterio di integrabilità che perme di delineare con maggiore semplicitàun’intera classe di funzioni integrabili, senza calcolare esplicitamente le somme integrali superiori e inferiori.

Teorema 1. Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione limitata. Allora $f$ è integrabile secondo Riemann nell’intervallo $[a,b]$ se e solo se $\forall\,\varepsilon>0$ esiste una partizione $P_\varepsilon$ di $[a,b]$ tale che

$\begin{equation*} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)<\varepsilon. \end{equation*}$

Dimostrazione. (→) Se $f$ è integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ allora $s(f)=S(f)$ ¹. Per definizione di estremo superiore e inferiore, $\forall\varepsilon>0$ esistono $P$ e $Q$ partizioni dell’intervallo [a,b] tale che