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Area con gli integrali: esercizi sull’area compresa tra i grafici

Calcolo delle aree

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Sommario

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Questo file raccoglie una selezione di esercizi svolti sul calcolo delle aree. È pensato principalmente per studenti universitari, ma risulta adatto anche a studenti delle scuole superiori con una buona preparazione e ad appassionati di matematica.

Gli esercizi sono stati selezionati principalmente da test di ingresso per l’ammissione all’Università di Oxford, con un livello di difficoltà medio-alto e un forte focus sul ragionamento matematico.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani.

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Calcolo dell’area

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Sia k un parametro reale positivo, e si considerino le due funzioni \mathbb{R} \to \mathbb{R}:

\[\begin{gathered} f(x) = k - x^2; \\ g(x) = x^4 - k. \end{gathered}\]

Per quali valori di k l’area compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse è più grande dell’area compresa tra il grafico di g e l’asse delle ascisse?

Svolgimento.

Si tratta di valutare due integrali definiti elementari. Si noti che f e g intersecano l’asse delle ascisse per x = \pm\sqrt{k} e per x = \pm\sqrt[4]{k}, rispettivamente. Nel caso di f, la regione da considerare è contenuta nel semipiano positivo delle ascisse, mentre nel caso di g si trova in quello negativo (per cui, va preso l’opposto del valore dell’integrale). Le aree sottese da f e g sono dunque, rispettivamente:

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_f = {} & \int_{-\sqrt{k}}^{+\sqrt{k}}f(x)\,d{x} = 2\int_{0}^{\sqrt{k}}(k-x^2)\,d{x} = 2\left.\left(kx-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{\sqrt{k}} = \\ = {} & 2\left(k\sqrt{k}-\frac{\sqrt{k}^3}{3}\right)= \frac{4}{3}\sqrt{k^3} = \frac{4}{3}k^{3/2};\\[10pt] \mathcal{A}_g = {} & -\int_{-\sqrt[4]{k}}^{+\sqrt[4]{k}}g(x)\,d{x} = 2\int_{0}^{\sqrt[4]{k}}(k-x^4)\,d{x} = 2\left.\left(kx-\frac{x^5}{5}\right)\right|_{0}^{\sqrt[4]{k}} = \\ = {} & 2\left(k\sqrt[4]{k}-\frac{\sqrt[4]{k}^5}{5}\right) = \frac{8}{5}\sqrt[4]{k^5} = \frac{8}{5}k^{5/4}. \end{aligned} \]

Per curiosità, la regione sottesa da f è un segmento parabolico, la cui area si può calcolare alternativamente con la formula:

\[\mathcal{A}_f = \frac{1}{6}\cdot|a|\cdot(x_2-x_1)^3 = \frac{1}{6}\cdot |-1| \cdot \left[\sqrt{k}-(-\sqrt{k})\right]^3 = \frac{4}{3}k^{3/2},\]

dove a è il coefficiente del monomio di secondo grado nell’equazione che definisce la parabola, e x_1 e x_2 (x_1 < x_2) sono le intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse. Naturalmente questo risultato coincide col valore trovato in precedenza.

Affinché \mathcal{A}_f > \mathcal{A}_g, si deve quindi avere:

\[\frac{4}{3}k^{3/2} = \frac{4}{3}k^{6/4} > \frac{8}{5}k^{5/4} \iff k^{1/4} > \frac{6}{5} \iff \boxcolorato{analisi}{ k > \left(\frac65\right)^{\!4}.}\]

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare l’area della regione (limitata) compresa tra la curva di equazione y = \sqrt{x}, la retta y = x-2, e l’asse delle ascisse.

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